上海市普陀区2024-2025学年高三上学期12月质量调研数学试卷.docx

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上海市普陀区2024-2025学年高三上学期12月质量调研数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、未知

1．设全集，若集合，则.

二、填空题

2．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为.

三、未知

3．设为虚数单位，若复数满足，则.

4．若，则的值为.

5．设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为.

6．设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为.

7．设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为.

8．若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为.

9．设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为.

10．设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为.

11．设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是.

12．设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则的取值范围是.

13．设，则“”是“”的…（???）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

14．某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（???）

A．这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123

B．这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721

C．这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6

D．这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差

15．设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（???）

A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得

C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得

16．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数“函数”.对于命题；

①设，若函数为“函数”，则；

②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个.

则下列结论中正确的是（???）

A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假

17．图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且..

(1)求证：；

(2)记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小.

18．设函数的表达式为，其中.

(1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围；

(2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期.

19．机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况.

比赛的次数

12

10

15

获胜的次数

4

5

12

(1)根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率；

(2)根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由.

20．设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点.

(1)若点是上的一点，，求的值；

(2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标；

(3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围.

21．设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”.

(1)设，，若数列10，7，，4，3具有性质“”，求满足条件的的值；

(2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由；

(3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小.