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辐射井流量计算

摘要

辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管聚集到竖井中。辐射井与常规井相比，具有出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点。从20世纪60年代以来，辐射井技术已在我国推广应用。如辐射井在华北深基坑工程降水中，取得了较好的效果。随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得成功，目前辐射井技术在地铁施工又发挥着重要作用。

此题要求我们根据黄土地区地下水渗透特点，求出地下水降落曲线，辐射井水量计算模型。解题过程中我们运用了微积分和函数极限的概念，并参考文献中的局部计算理论。

针对第一问，参考文献【1】中理论及其分析，得知地下水降落曲线与水平距离x近似满足自然对数函数关系，据此我们假设了地下水降落曲线方程，运用积分及函数极限的概念，求出待定系数，最终确定方程

针对第二问，参考文献【2】理论及分析，我们得到了水平距离x处的流量与该处地下水水位线高度的函数关系，带入数值验证并对方程系数进行修正。

关键字：辐射井，降水，渗透，极限，微积分，自然对数函数。

问题重述

问题背景

辐射井是由大直径集水竖井和集水井内沿水平方向向含水层打进具有一定长度的多层、数根至数十根水平辐射管组成。辐射井能够有效开采不同含水层的水源，单井出水量大，井的寿命长，节约动力，管理运行费用低，维修方便。辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。

需解决的问题

此题是关于黄土中辐射井流量的问题。考虑到黄土竖直渗透系数远大于水平渗透系数的特点，我们在建立模型计算时，在辐射管半径范围内，只考虑竖直渗透，在辐射管半径范围外，水平方向的水流很难流入辐射管内，据此以及黄土的特点，在抽水进行到一定阶段，即辐射管半径范围内的地下水水位与隔水底板高差不太大时，水流的补给主要依靠辐射管半径范围外黄土中水的水平渗流。为了得出辐射井出水量计算公式，在查阅有关文献后我们建立了辐射井出水量与降落曲线的函数关系，并通过积分，得到了出水量的计算公式。

二、问题分析

针对此题进行分析，可知此题的重点是得出地下水降落曲线随距离x的方程，并且建立出水量计算方程。完整的解决这个问题需要运用积分，以及将数据带入建立好的方程，对方程的合理性进行分析，并得出最终方程。

针对第一问，参考文献【1】我们假设出地下水降落曲线随距离x的方程，式中含有待定系数，求解出该待定系数成为解决该问题的关键。对问题进一步分析得知，该系数的求解将有其后流量与地下水高度的关系解出。

针对第二问，参考文献【2】的理论，我们得到了流量和地下水曲线高度的函数关系，式中存在阻抗系数，并且在具体情况下应对上述流量和地下水曲线高度的函数关系进行修正。在计算水量时，由于每根辐射管的情况相同，我们通过对一根辐射管流量的计算，乘以辐射管数后得到总流量。

三、根本假设

1.在辐射管半径范围内只考虑土中水的竖直渗透。

2.潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的压缩性。

3.潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。

4地下水降落曲线的高度变化仅与距集水竖井中心的距离有关，即距集水竖井中心相同时，地下水降落曲线高度的z坐标相同

四、符号说明

符号

意义

单位

H

距集水竖井中心水平距离x处的水位高度

米

H

集水竖井中水面高度

米

H

辐射管端点处水面高度

米

R

辐射管端点距井中心的水平距离

米

R

距集水竖井为R2

米

R

距集水竖井为R1

米

H

距集水竖井为R1

米

H

距集水竖井为R2

米

Q

辐射井出水量

米

α

待定系数

r

集水竖井半径

米

n

辐射管数

θ

相邻两辐射管夹角

度

?H

辐射管中心与隔水底板高度差

米

其余符号均会在首次出现时作以说明，以上各符号代表的高度，均从隔水底板起算。

五、模型的分析、建立与求解

5.1地下水降落曲线及辐射井出水量的分析

分析题目条件，黄土地区由于黄土中竖直渗流远大于水平渗流的特点，在辐射管半径范围内，地下水经竖直渗流，汇入辐射管后流入集水井内。而普通筒井那么是依靠微弱的水平渗流，使地下水汇入井中，这就造成了两种井的地下水降落曲线的不同。

图1〔辐射井工作状况纵剖面图〕

如图1所示，辐射井在辐射管延伸范围内，水力坡度近井处平缓，远处陡峭，降落曲线呈下凹曲线，与普通筒井相反，井壁处不发生水跃现象。在辐射管端点，水力坡度陡增，并出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围外，降落曲线呈上凸曲线，水力由陡变缓，与普通筒井一致。并且，参考文献【5】知地下水降落曲线集中反映了地下水的水头沿辐射管方向的分布和变化，最大水头出现在辐射管的端点处，从该点进入辐射管的水量最多，靠近集水竖井水头逐渐减小，进入辐射管的水量也逐