第十二章三角形全等培优与拓展练习人教版2024—2025学年八年级上册.docxVIP

第十二章三角形全等培优与拓展练习人教版2024—2025学年八年级上册

一、典型例题

例1.已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

（1）求证：BE＝AD；

（2）求∠BPQ的度数；

（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．

例2.如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（b，0），且a，b满足（a+b）2+|b﹣3|＝0，△ABC是等边三角形，

（1）求点A，点B的坐标；

（2）如图，在△ABC的外角平分线上有一点Q：

①连接CQ，当CQ最小时，求BQ的长度；

②在x轴上有一动点P使得∠CPQ＝60°不变，当PB＝2时，求点Q的横坐标．

例3.在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足（a﹣b﹣2）2+|b﹣3|＝0．

（1）填空：a＝，b＝；

（2）如图1，作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC，求C点坐标；

（3）如图2，点M在x轴负半轴上，分别以AB、BM为腰；点B为直角顶点，在第一、第二象限作等腰Rt△ABD，等腰Rt△MBE，连接DE交y轴于点F，试判断2OF﹣OM是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

例4.等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上．

（1）如图1，若A（0，4），B（1，0），求C点坐标；

（2）如图2，如图，以OA为直角边在y轴的左边作等腰Rt△OAD，AO＝AD，连接CD，试问A点在运动过程中△AOB与△ADC面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出S△AOB：S△ADC．若变化，请说明理由．

（3）如图3，点A（0，2），E在x轴负半轴上的动点，且S△ABE＝8．以AE为边在第二象限作等腰Rt△DAE，连接CD交y轴于P点，问：在运动过程中△OCD的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围．

例5．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：OC平分∠ACD；

（2）求证：OA⊥OC；

（3）求证：AB+CD＝AC．

例6．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：CD＝2BF+DE．

例7.如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，点D是AB边的中点，且AB＝2，点C是射线OB上的动点，连接CD，以CD为边作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接BE．

（1）BD的值为；∠OAB的度数为；

（2）如图1，若点C在线段OB上，过点C作CF∥OA交AB于点F，求证：∠CBE＝45°；

（3）如图2，当点C在OB的延长线上时，

①判断∠CBE的值是否发生改变，请说明理由；

②若EB平分∠DEC，BE与CD交于点P，求PE的值．

例8.如图，直线MN一侧有一等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂直分别为点EF，∠CAB的角平分AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，满足AG⊥BG，延长AC，BG交于点D．

（1）证明：CE＝BF；

（2）求证：AC+CO＝AB；

（3）若BG＝2，求线段AO的长度．

例9.如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0）且a、b满足|a+2b﹣6|+|a﹣2b+2|＝0．E为线段上一动点，∠BED＝∠OAB，BD⊥EC，垂足在EC的延长线上，试求：

（1）判断△OAB的形状，并说明理由；

（2）如图1，当点E与点A重合时，探究线段AC与BD的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图2，当点E在线段AB（不与A、B重合）上运动时，试探究线段EC与BD的数量关系，证明你的结论．

二、课后拓展

1.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）

①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第1题图第2题图

2．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

3．若为的中线，，，求的取值范围．

4．在平面直角坐标系中，点，，，，，如果与全等，那么点