高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 第二章章末总结.docxVIP

章末总结

判断对错(正确的打√，错误的打×).

1.若ab，cd，则a-cb-d.(×)

2.若ab，cd，则acbd.(×)

3.若ab，则1a1b.(

4.若a∈R，b∈R，则ab≤a+b2

5.若a∈R，b∈R，则ab≤a+

6.若a∈R，b∈R，则ab≤a2

7.若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为R，则a0，b2-4ac≤0.(×)

8.若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{1}，则a0，b2-4ac=0.(√)

9.若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为，则a0，b2-4ac0.(×)

题型一数或式的大小比较问题

[例1]已知a0，b0，a≠b，试比较ba+ab与a+

解:法一(作差法)ba+ab-a-b=b-aa+a-bb=(b-a)(

因为a0，b0，a≠b，

所以(b-a)20，b+a0，ab0，

所以ba+aba+

法二(利用基本不等式)根据基本不等式可得，

ab+b≥2a，ba+a≥2

当且仅当a=b时，取等号，但a≠b，

所以ab+b2a，ba+a2

所以ab+ba+a+b2(a+b

所以ba+aba+

数或式比较大小的方法

(1)作差后与0比较大小或两个正数作商后与1比较大小.

(2)通过特值探求两个式子的大小，然后证明.

(3)一些特殊结构的式子可以考虑利用基本不等式比较大小.

跟踪训练1:已知a1，b1，M=a2a-1+b2b

(1)试比较M与N的大小，并证明;

(2)分别求M，N的最小值.

解:(1)M≤N，

证明:因为M-N=a2a-1-b2a-1+b2

所以a+b0，a-10，b-10，(a-b)2≥0，

所以-(a-b

(2)M=a-1+1a-1+b-1+1b-1

又根据(1)N≥M，所以M，N的最小值都是8.

题型二不等式的性质及应用

[例2](1)(多选题)(2021·江苏连云港期中)若ab0，则下列选项正确的有()

A.ac2≥bc2 B.a2abb2

C.2aba+bab

(2)(多选题)已知a，b，c，d是实数，则下列选项一定正确的有()

A.a2+b2≥(

B.a+1a

C.若1a1b

D.若ab0，cd0，则acbd

解析:(1)因为ab0，

所以ac2-bc2=(a-b)c2≥0，即ac2≥bc2，

故选项A正确;

又a2-ab=a(a-b)0，所以a2ab，故选项B错误;

因为ab0，所以a+b2ab，所以2aba+b2

又1a-1b=b-aab0，所以

故选AC.

(2)A中，由于2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，

所以a2+b2≥12(a+b)2，

B中，当a=-1时，显然不成立，B错误;

C中，当a=1，b=-1时，显然有1a1b，但ab

D中，若ab0，cd0，则-a-b0，-c-d0，则根据不等式的性质可知acbd0，故D正确.

故选AD.

应用时容易出错的不等式的性质

(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减.若ab，cd，则a+cb+d，若ab，cd，则a-cb-d;但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减.

(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘，但不能相除;异向不等式可以相除，但不能相乘.若ab0，cd0，则acbd;若ab0，0cd，则acb

(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方.若ab0，则anbn或nanb，n∈N

(4)若ab0，ab，则1a1b，若ab0，ab，则1a

跟踪训练2:(1)(多选题)如果a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()

A.abac B.c(b-a)0

C.cb2ab2 D.ac(a-c)0

(2)已知2a3，-2b-1，则t=ab的取值范围是，s=b2a的取值范围是

解析:(1)因为ca，且ac0，所以c0，a0.

选项A成立，因为cb，所以acab，即abac.

选项B成立，因为ba，b-a0，

所以c(b-a)0.

选项C不一定成立，当b=0时，cb2ab2不成立.

选项D成立，因为ca，所以a-c0，所以ac(a-c)0.故选ABD.

(2)因为-2b-1，所以1-b2.

又因为2a3，所以2-ab6，

所以-6ab-2.

因为-2b-1，所以1b24.

因为2a3，所以131a12，所以1

答案:(1)ABD(2){t|-6t-2}{s|13

题型三利用基本不等式求最值问题

[例3](1)若a，b，c均为正实数，则ab+

A.12 B.14 C.22

(2)(多选题)已知正数a，b满足a+2b=1，则下列选项正确的有()

A.ab有最大值1

B.1a+2

C.1b+b

D.a2+b2有最小值1

解析:(1)因为a，b，c均为正实数，

则a