(寒假)人教版数学八年级寒假讲义08 勾股定理 本章知识综合运用+随堂检测（教师版）.docVIP

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08勾股定理本章知识综合运用

两个概念

两个概念

●●1、互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

●●2、互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，

称这两个定理互为逆定理.

两个定理

两个定理

●●1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

应用勾股定理可以解决下面的问题：

（1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边长；

（2）已知直角三角形的一边，求两边的关系；

（3）解决勾股定理构造方程，解决实际问题.

●●2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.

应用勾股定理逆定理可以解决下面的问题：

（1）判断三角形的形状；

（2）证明线段的位置关系；

（3）证明线段之间的数量关系.

两个应用

两个应用

●●1、勾股定理的应用

利用勾股定理可以解决和直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题.常见的应用类型为:

（1）化非直角三角形为直角三角形；（2）将实际问题转化为直角三角形模型.

●●2勾股定理的逆定理的应用

勾股定理的逆定理是从边的角度判定直角三角形的重要方法之一，在题目中若告诉三角

形三边的数量关系，就需要借助勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形．

四种思想方法

四种思想方法

●●1、方程思想：在直角三角形中，求线段的长时，常利用勾股定理建立方程求解.

●●2、数学结合思想:勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三边的数量关系（数），勾股定理的逆定理的是由三角形三边的数量关系（数），得到这个三角形是直角三角形（形），二者相互结合，能使抽象的数量关系直观化，从而有效分析和解决问题.

●●3、建模思想：运用勾股定理解决实际问题的实质是将生活中的实际问题转化为数学问题，然后将已知和未知转化为直角三角形的边，利用勾股定理求出直角三角形的边，最后得出实际问题的解.

●●4、分类讨论思想：在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类.

题型一运用勾股定理求线段长

题型一运用勾股定理求线段长

【例题1】已知三角形的两边分别为5和12，要使它是直角三角形，第三边的长应为．

【分析】分两种情况：当直角三角形的两条直角边长分别为5和12时；当直角三角形的斜边长为12时，然后分别进行计算即可解答．

【解答】解：分两种情况：当直角三角形的两条直角边长分别为5和12时，

∴第三边的长=5

当直角三角形的斜边长为12时，∴第三边的长=1

综上所述：第三边的长应为13或119，故答案为：13或119．

解题技巧提炼

勾股定理的作用是已知直角三角形的两边求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理.

【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．

求：（1）CD的长；

（2）AD的长．

【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的长，再根据等面积法即可求出CD的长；

（2）直接由勾股定理求解即可．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=A

∵CD⊥AB，∴S△ABC=12

（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=BC

【变式1-2】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．

【分析】作辅助线BD，AD，根据直角△ABD和直角△ACD中关于AD的计算方程求AD，BD；AD即BC边上的高．

【解答】解：延长CB，作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，设AD＝x，BD＝y，

在直角△ADB中，AB2＝x2+y2，在直角△ADC中，AC2＝x2+（y+BC）2，解方程得y＝6，x＝8，

即AD＝8，∵AD即BC边上的高，∴BC边上的高为8．答：BC边上的高为8．

题型二勾股定理的证明

题型二勾股定理的证明

【例题2】如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（）

A．a2+b2＝c2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2

C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2

【分析】根据图形可知是梯形，再根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，列式整理即可证明．

【解答】解：梯形的面积=