高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 函数的定义域和值域的求法.docxVIP

第2课时函数的定义域和值域的求法

学习目标

1.会判断两个函数是不是同一个函数，提升数学抽象的核心素养.

2.通过求简单函数的定义域、值域，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.

同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.

(1)抽象函数的概念.

没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.

(2)复合函数的定义.

如果函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C?A时，称函数y=f(g(x))为f与g在D上的复合函数.其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.

函数的定义域

类型一根据函数解析式求定义域

[例1]求下列函数的定义域.

(1)f(x)=3-x+

(2)f(x)=(x

(3)f(x)=5-

(4)f(x)=x+1

解:(1)要使函数有意义，则3

解得1≤x≤3.

因此函数的定义域为[1，3].

(2)由于0的零次幂无意义，所以x+1≠0，

即x≠-1.

又x+20，即x-2，

所以x-2，且x≠-1.

所以函数f(x)=(x

{x|x-2，且x≠-1}.

(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5

解得x≤5，且x≠±3，

所以函数f(x)=5-x|x|-

(4)要使函数f(x)有意义，

则x

即x

解得-1≤x1.

因此函数f(x)的定义域为{x|-1≤x1}.

根据函数解析式求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.

(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

(3)若f(x)中含x0，要注意x≠0.

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义(即求各个式子有意义的交集).

针对训练1:求下列函数的定义域.

(1)f(x)=1x2-

(3)f(x)=x+2|x

解:(1)要使函数有意义，则x2-x+30，

因为x2-x+3=(x-12)2+114

所以原函数的定义域为R.

(2)要使函数有意义，则x

所以-1x2，且x≠1，

即原函数的定义域为(-1，1)∪(1，2).

(3)要使函数有意义，则x+2≥0,

解得x≥-2，且x≠±1.

所以原函数的定义域为{x|x≥-2，且x≠±1}.

(4)由x≠0,1+

所以原函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，0)∪(0，+∞).

类型二形如f(g(x))函数的定义域

[例2](1)若函数y=f(x)的定义域为[1，4]，求函数y=f(x+2)的定义域;

(2)已知函数y=f(x+1)的定义域是[2，3]，求函数y=f(x)的定义域;

(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[0，1)，求函数y=f(1-3x)的定义域.

解:(1)因为函数f(x)的定义域为[1，4]，

所以使函数f(x+2)有意义的条件是1≤x+2≤4，即-1≤x≤2.

所以函数y=f(x+2)的定义域为[-1，2].

(2)因为函数y=f(x+1)的定义域为[2，3]，则2≤x≤3，

所以3≤x+1≤4.所以函数y=f(x)的定义域为[3，4].

(3)因为y=f(2x-1)的定义域为[0，1)，

即0≤x1，所以-1≤2x-11，

所以f(x)的定义域为[-1，1).

所以-1≤1-3x1，所以0x≤23

所以y=f(1-3x)的定义域为(0，23

(1)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域是不等式a≤g(x)≤b的解集，其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围.

(2)已知函数y=f(g(x))的定义域为D，则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域.

针对训练2:(2021·广东期中)已知函数f(x-1)的定义域为[-2，3]，则函数f(2x+1)的定义域为()

A.[-1，9] B.[-3，7]

C.[-2，1] D.[-2，12

解析:函数f(x-1)的定义域为[-2，3]，

即-2≤x≤3，所以-3≤x-1≤2，即f(x)的定义域为[-3，2]，

由-3≤2x+1≤2，得-2≤x≤12

所以函数f(2x+1)的定义域为[-2，12

同一个函数的判定

[例3](多选题)下列各组函数是同一个函数的是()

A.f(x)=-2x

B.f(x)=x0与g(x)=1

C.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1

D.f(x)=x+1·x-1

解析:A中，f(x)=-x-2x，g(x)=x-2x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数;B中，f(x)=x0=1(x≠0)，g(x)=1x0=1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数;C中，f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1，对应关系和定