(寒假)人教版数学八年级寒假讲义11 矩形的性质与判定+随堂检测（教师版）.docVIP

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11矩形的性质与判定

知识点一

知识点一

矩形的定义

●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.

（2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.

（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.

知识点二矩形的性质

知识点二

矩形的性质

●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.

◆1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.

◆2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.

◆3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.

◆4、矩形的面积=长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和.

知识点三直角三角形斜边上的中线

知识点三

直角三角形斜边上的中线

◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

几何语言：∵在Rt△ABC中，点O是AB的中点，

∴OB=AO=CO=AC.

◆3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.

知识点四

知识点四

矩形的判定

●矩形的判定方法：

方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，

∴四边形ABCD是矩形.

方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；

几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形.

方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；

几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°,

∴四边形ABCD是矩形.

◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.

题型一利用矩形的性质求线段长

题型一利用矩形的性质求线段长

【例题1】如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（）

A．3 B．2 C．23 D．4

【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，再根据邻角互补求出∠AOD的度数，然后得到△

【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO=12

∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝AO＝2，

∴AB=3AD＝23，故选：C

解题技巧提炼

在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用.

【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因为E．F分别是AO．AD中点，根据三角形中位线定理即可得到结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，

在Rt△BAD中，∵BD=AB2+AD2=6

∵E．F分别是AO，AD中点，∴EF=12OD=52，AE=52，AF

【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）

A．22?2 B．22?1 C．3?

【分析】在Rt△ABE中可求得BE的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得BC＝BE，则可求得AD的长，则可求得DE的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，

∵AB＝2，∠ABE＝45°，∴AE＝AB＝2，∴BE=AB2

∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB，∵EC平分∠BED，∴∠B