(寒假)人教版数学八年级寒假讲义11 菱形的性质与判定+随堂检测（原卷版）.docVIP

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12菱形的性质和判定

知识点一

知识点一

菱形的定义

●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.

◆1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可.

◆2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.

知识点二

知识点二

菱形的性质

◆1、菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质.

②菱形的四条边都相等.

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.

性质定理应用格式：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；

AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；

BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；

◆2、菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式=底×高．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）

③四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；

知识点三菱形的判定

知识点三

菱形的判定

●●菱形的判定方法：

◆1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.

◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

定理1应用格式：

∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形.

◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形.

定理2应用格式：

∵AB=BC=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形.

【要点解析】

（1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；

（2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.

②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.

（3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；

②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.

题型一利用菱形的性质求角度

题型一利用菱形的性质求角度

【例题1】如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140°，则∠BCA等于（）

A．40° B．30° C．20° D．15°

解题技巧提炼

在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答.

【变式1-1】如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【变式1-2】如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为．

【变式1-3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【变式1-4】已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为．

题型二利用菱形的性质求线段长

题型二利用菱形的性质求线段长

【例题2】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝．

解题技巧提炼

由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个.

【变式2-1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（）

A．45 B．8 C．4 D．

【变式2-2】如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，则DH等于（）

A．245 B．485 C．5

【变式2-3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．

【变式2-4】如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于．

【变式2-5】如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接F