第二十四章圆的综合练习人教版2024—2025学年九年级上册.docxVIP

第二十四章圆的综合练习人教版2024—2025学年九年级上册

一、典例精析

类型一：圆与正多边形的综合

例1.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG．

（1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为．

（2）求AG的长．

（3）求ME的长．

变式1.如图，OA、OB为⊙O的半径，且D、E分别为OA、OB的中点，．

（1）求证：CD＝CE．

（2）若∠AOB＝120°，OA＝x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．

类型二：圆中中点问题

例2.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．

（1）求证：点D为弧AC的中点；

（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．

变式1.如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：BE＝CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．

类型三：扇形的弧长及面积计算

例3.如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．

（1）求证：CD∥AB．

（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

变式1.如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．

（1）求证：∠ACO＝∠BCP；

（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；

（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

变式2.如图，四边形ABCD是正方形，边长为6，以边CD为直径作⊙O，点E在BC边上，连结DE交⊙O于点F，连结CF并延长交AB于点G．

（1）求证：CE＝BG．

（2）若∠DEC＝60°，求⊙O中弦DF与它所对劣弧围成的封闭图形的面积．（结果保留π）

类型四：切线证明

例4.如图，直线AB经过点C，且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线AB与C．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）若圆的半径为4，∠B＝30°，求阴影部分的面积．

变式1.如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．

（1）若AB＝8，求AE的长；

（2）求证：EB是⊙O的切线．

类型五、圆与二次函数的综合

例5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.

(1)求过A，?B，C三点的抛物线的解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由.

变式1.如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为,设⊙M与轴交于D，抛物线的顶点为E.

(1)求m的值及抛物线的解析式；

(2)若F在抛物线第四象限上，求使四边形OBFC面积最大时的点F的坐标；

类型六、圆中线段计算

例6.如图，半径为2的⊙O中，弦BC的长度为，点A是优弧BC上的一个动点，点E是△ABC的内心，连接AE交BC于点F，交圆O于点D．

（1）求∠BAD的度数；

（2）当点A沿着优弧BC从点B开始，顺时针运动到点C时，求△ABC的内心点E所经过的路径的长度；

（3）连接OE，设OE＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式．

变式1.对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：

既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：

只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；

只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：

既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．

请你根据该约定，解答下列问题：

（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．

①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；

②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；

③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有R＝r．

（2）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．

①