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2025届河南省周口市川汇区两校高三联考一模

数学试题

一、单选题

1.若复数在复平面内对应的点在直线上，则

A．2

B．

C．1

D．

2.已知向量和的夹角为，且，则（?????）

A．-10

B．-7

C．-4

D．-1

3.若，则等于（???????）

A．

B．

C．

D．

4.已知集合，，则（???????）

A．

B．

C．

D．

5.已知等比数列的前项和为，若，，则（???????）

A．16

B．64

C．112

D．32

6.已知函数且，则（???????）

A．

B．

C．

D．

7.“”是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8.已知，则（???????）

A．

B．

C．

D．

9.曲线在点处的切线方程为（???????）

A．

B．

C．

D．

10.已知集合，则（???????）

A．

B．

C．

D．

11.已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（???????）．

A．

B．

C．

D．

12.在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（???????）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13.已知函数，若方程仅有两个不同的实数解，则的取值范围是___________.

14.如果，，那么=_______．

15.?若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．

16.?设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_______.

解答题

对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：

①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零

②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数

③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！

聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．

(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和；

(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．

18.圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．

(1)当时，求AB的长；

(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．

19.?我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.

(1)化简曲线的方程；

(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求△OMN面积的最小值.

20.2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．

(1)写出k关于x的函数关系式；

(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用）

21..如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：

???

(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；

(2)当的值为多少时，能使平面？