湖南省湘西自治州2024-2025学年高三上学期州自检数学试卷（含答案解析）.docx

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湖南省湘西自治州2024-2025学年高三上学期州自检数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（???）

A． B． C． D．

3．已知是偶函数，则（???）

A． B． C． D．

4．三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（???）

A．18种 B．21种 C．24种 D．36种

5．已知均为单位向量，且，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

6．记等差数列的前n项和为，若成等差数列，成等比数列，则（???）

A．900 B．600 C．450 D．300

7．已知函数的最小正周期为10，则（????）

A． B． C． D．1

8．过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

9．已知随机变量，记，则（???）

A． B． C． D．

10．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（????）

??

A．平面截正方体所得截面为六边形

B．点G到平面的距离为定值

C．若，且，则G为棱的中点

D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

11．已知正项数列满足且，则下列说法正确的（???）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则或

三、填空题

12．已知函数的图象在点处的切线斜率为，则实数．

13．已知平面平面与平面所成的角为，且，两点在平面的同一侧，，则．

14．已知实数x，y满足，则．

四、解答题

15．记为等比数列的前n项和，已知．

(1)求的通项公式；

(2)设求数列的前20项和．

16．在中，内角所对的边分别为．已知．

(1)求；

(2)若，求的面积．

17．如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，．

??

(1)证明：平面平面；

(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．

18．已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A?2,0，两点．

(1)求C的方程；

(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：

（ⅰ）存在常数，满足；

（ⅱ）的面积为定值．

19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足．

注：．

设函数在处的阶帕德近似为．

(1)求的解析式；

(2)证明：当时，；

(3)设函数，若是的极大值点，求k的取值范围．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

C

C

B

A

C

B

ABD

BCD

题号

11

答案

AC

1．B

【分析】根据条件求出集合，计算.

【详解】由题意得，，

∵，

∴.

故选：B.

2．D

【分析】根据复数的乘法运算可得答案.

【详解】若复数满足，

则.

故选：D.

3．C

【分析】根据偶函数的定义及性质直接判断.

【详解】由，

设，则且为偶函数，

所以为偶函数，

所以，，且，

即，化简可得，

解得，经检验，符合题意.

故选：C.

4．C

【分析】按分步乘法计数原理，首先选一人去大学，然后将剩余的三位同学分为两组2，1，再分配到两所学校即可求解.

【详解】第一步选一人去大学，则有（种），

第二步将剩余的三位同学以一组两人，一组一人进行分组，然后分配到两所学校，

则有（种），

则不同的报名方法共有（种），

故选：C.

5．B

【分析】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值.

【详解】因为均为单位向量，且且，

所以，

，

当时，的最小值为.

故选：B.

6．A

【分析】由题意可得，，求得首项与公差，可求.

【详解】等差数列的公差为，因为成等差数列，

所以，所以，

所以，所以，，

又因为成等比数列，所以，

所以，解得，解得，

所以.

故选：A.

7．C

【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简，从而利用余弦函数的周期公式求得，进而代入即可得解.

【详解】

，

又的最小正周期为10