数值_分析实验报告.pdfVIP

一、实验目的

1.理解数值分析的基本概念和方法；

2.掌握线性方程组的求解方法，如雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代

法；

3.利用MATLAB软件进行数值计算，并分析结果。

二、实验原理

1.数值分析是研究如何用数值方法求解数学问题的学科，其核心是误差分析和算

法设计。

2.线性方程组是数值分析中的基本问题之一，常见的求解方法有直接法和迭代法。

3.雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法是三种常用的迭代法，它们通

过迭代过程逐步逼近方程组的解。

4.MATLAB是一种高性能的科学计算软件，具有强大的数值计算和可视化功能。

三、实验内容

1.实验一：雅可比迭代法

（1）原理：雅可比迭代法是求解线性方程组的迭代法之一，其基本思想是将线性

方程组分解为多个子方程，然后依次求解子方程，逐步逼近方程组的解。

（2）步骤：

a.输入系数矩阵A和常数向量B；

b.初始化迭代变量X0；

c.计算对角矩阵D、上三角矩阵L和下三角矩阵U；

d.进行迭代计算，直到满足精度要求或达到最大迭代次数；

e.输出解向量X。

（3）MATLAB代码实现：

```MATLAB

function[X,K]=JACOBI(A,B,X0,E,N)

[n,n]=size(A);

D=diag(A);

L=tril(A-D,-1);

U=triu(A-D);

K=0;

fori=1:N

ifnorm(X_new-X0)E

break;

end

X0=X_new;

K=K+1;

end

X=X_new;

end

```

2.实验二：高斯赛德尔迭代法

（1）原理：高斯赛德尔迭代法是另一种求解线性方程组的迭代法，其基本思想是

在每次迭代中，利用已求得的近似解来更新下一个近似解。

（2）步骤：

a.输入系数矩阵A和常数向量B；

b.初始化迭代变量X0；

c.进行迭代计算，直到满足精度要求或达到最大迭代次数；

d.输出解向量X。

（3）MATLAB代码实现：

```MATLAB

function[X,K]=GAUSSSEIDEL(A,B,X0,E,N)

[n,n]=size(A);

K=0;

fori=1:N

X_new=B-AX0;

forj=1:n

X_new(j)=(B(j)-A(j,:)X0)/A(j,j);

end

ifnorm(X_new-X0)E

break;

end

X0=X_new;

K=K+1;

end

X=X_new;

end

```

3.实验三：SOR迭代法

（1）原理：SOR迭代法是高斯赛德尔迭代法的改进，通过引入一个参数ω来加速

收敛速度。

（2）步骤：

a.输入系数矩阵A、常数向量B和参数ω；

b.初始化迭代变量X0；

c.进行迭代计算，直到满足精度要求或达到最大迭代次数；

d.输出解向量X。

（3）MATLAB代码实现：

```MATLAB

function[X,K]=SOR(A,B,X0,E,N,omega)

[n,n]=size(A);

K=0;

fori=1:N

X_new=B-AX0;

forj=1:n

X_new(j)=(1-omega)X0(j)+omega(B(j)-A(j,:)X0)

/A(j,j);

end

ifnorm(X_new-X0)E

break;

end

X0=X_new;

K=K+1;

end

X=X_new;

end

```

四、实验结果与分析

1.针对实验一、二和三，分别选取不同的系数矩阵A和常数向量B，进行计算，

得到解向量X和迭代次数K。

2.分析不同迭代法在收敛速度、精度和稳定性方面的差异。

3.对比三种迭代法的实际