《自动控制原理及其应用》第4章 习题及参考答案.docx

4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。

1）2）

图4-1（1）

解：（1）

①由G(s)知，n=3，m=0，p1=0，p2=–1，p3=–3。

②实轴上[0，–1]、[–3，?]是根轨迹段。

③有n–m=3条渐近线,交点，

夹角、180°。

④实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d。

由求d：解得

（分离点）（舍去）

⑤求根轨迹与虚轴交点，令代入，

得解得

根轨迹图见图4-1（1）

图4-1（2）

（2）

①由G(s)知，n=3，m=1，p1=0，p2=–2，p3=–3，p4=–5

②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段

③有n-m=2条渐近线：，夹角?a=±90°

④实轴上[-2、0]根轨迹段上有分离点d，

由求d：，试凑得s1=-0.88是其解，且是分离点。

根轨迹图见图4-1（2）。

4-2已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。

1）2）

解：（1）

根轨迹图见图4-2（1）

图4-2（1）

（2）

①n=4，m=0，p1=0，p2=–4，p3、4=–2±j4

②p1、p2连线中点正好是p3、p4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。

图4-2(2)

∴实轴上[0、–4]复平面内[p3、p4]间是根轨迹

③有n-m=4条渐近线：

?a=±45°、±135°

渐近线如图4-2(2)中虚线示。

④[0、–4]间、[P3、P4]间根轨迹上有分离点，由分离点方程

可解得

，均为分离点

⑤由中，求根轨与虚轴交点：

令代入，得，解得与虚轴交点及临界值：（此即根轨迹起点p1，不是K*增大时与虚轴交点，舍去）

系统根轨迹如图4-2(2)所示.

4-3单位负反馈系统开环传递函数为

1）绘制根轨迹，分析系统稳定性；

2）若增加一个零点试问根轨迹有何变化，对稳定性有何影响。

图4-3

解：(1)绘制系统根轨迹：

①n=3，m=0，p=0，p1=p2=0，p3=–2；

②实轴上[0,0]、[–2，–∞]是根轨迹段；

③有n-m=3条渐近线，、180°渐近线如图4-3点划线示，根轨迹如图中虚线示，由p1=p2=0出发的分支在右半s平面，任何K1下系统均不稳定。

（2）①增加z=–1，实轴上[0，0]、[–1，–2]为根轨迹段。

②现有n-m=2渐近线，，，渐近线如图4-3中细虚线示；根轨迹如图中实线示，可见加进Z=-1后，系统在任何K1下均稳定。这说明给系统加进一个位置适当的开环左实零点，可使n-m变为n-m+1，渐近线条数减少一条，倾角增大，根轨迹向左移动，可使系统稳定性、平稳性得到改善。

4-4设单位负反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统在下列条件下的根轨迹。

1）2）3）4）

解：该系统n=3，m=1，开环极点p1、2=0，p3=–a，开环零点z=–1；随a不同取值，在[–1，P3]实轴段上可能存在分离点与会合点。但G(s)H(s)为三阶且有零点，求分离点、会合点d时用分离点方程更方便。

将值代入分离点方程，有

化简整理得

∴

该系统分离点会合点可能相等或不等，但只能是同时出现在实轴段[–1，P3]上，否则其解应舍去。

(1)a=10

图4-4(1)

图4-4(2)

①系统开环零极点分布如图4-4(1)所示；

②实轴上[0，0]、[–1，–10]是根轨迹段；

③有n–m=2条渐近线，，，渐近线如图中4-4（1）虚线所示；

④可求得[–1、–10]段上有分离点和会合点：

系统根轨迹如图4-4(1)中实线所示。

(2)a=9

①系统开环零、极点分布如图4-4(2)所示；

②实轴上[0，0]、[–1，–9]是根轨迹段；

③有n–m=2条渐近线，，，根轨迹渐近线如图4-4（2）中虚线所示；

④可求得[-1,-9]段上的分离点、会合点：，系统根轨迹如图4-4(2)中实线所示。（图中划线与实轴夹角为根轨迹的分离角会合角）

(3)a=8

图4-4(3)

①开环零极点分布如图4-4(3)；

②实轴上[0，0]、[–1，–8]是根轨迹段；

③有n–m=2条渐近线，，，渐近线如图中4-4（3）虚线示；