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空间立体几何建系设点专题

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一?所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算

1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB_AD，CD_AD，PA_底面ABCD，

PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

求证：BM//平面PAD;

在侧面PAD内找一点N，使MN_平面PBD;

求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

19.(本題满分直分)

正方形曲与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2t点E%AB的中点.

(1)求证：轲平面A^DEt

(H)求二面角DSE①的大卜

(III)求多面体AyDyDBE的休积*

已知多面体ABCDE中，AB丄平面ACD,DE丄平面ACD,AC=AD=CD=DE

=2a,AB=a,F为CD的中点.

(I)求证：AF丄平面

(I)求证：AF丄平面CDE;

(U)求异面直线AC,BE所成角余弦值;

(

所成二面角的大小

如图，四边形ABCD是正方形，PB丄平面ABCD,MA//PB,PB=AB=2MA,

证明：AC//平面PMD;

(U)求直线BD与平面PCD所成的角的大小；

(川)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)的大小。

已知斜三棱柱ABC-AB。,.BCA=90“,AC二BC=2,A在底面ABC上

的射影恰为AC的中点D，又知BA_ACi

求证：ACi_平面ABC;

求CCi到平面AAB的距离；

(III)求二面角A-AB-C的大小。

(湖南卷理科第18题)已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高都为2,AB=4.

证明：PQ丄平面ABCD;

求异面直线AQ与PB所成的角；

图I求点P到平面QAD的距离.

图I

(全国卷U理科第19题)在直三棱柱ABC-ABQi中，AB=BC,D、E分别

图2为B%AG的中点.

图2

证明：ED为异面直线BBi与ACi的公垂线；

设AA=AC=：：；2aB，求二面角几-AD-G的大小.

如图，平面PAC_平面ABC,ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,

E,F,O分别为PA,PB,AC的中点，AC=16,PA二PC=10.

(I)设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE;

(II)证明：在ABO内存在一点M，使FM_平面BOE，并求点M到OA,OB的距离.

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,

AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、

AA1、AB的中点。

证明：直线EE1//平面FCC1；

求二面角B-FCi-C的余弦值。

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.

已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2.2,PAB=60.

(I)证明AD_平面PAB;

(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小；

(川)求二面角P-BD-A的大小.

高三立几建系设点专向练习

在正方体A—Ci中，E、F分别为DiCi与AB的中点,

所成的角的正弦值为( )

A.sin空 B.sin—3

3 3

如图，正三棱柱ABC-ABG中，

则AiBi与截面AiECF

值为( )

6

C.sin-

2

则AC与平面

D?都不对

ab=aa，

bbcc所成的角的正弦

2

3

3.已知正方体ABCD-AiBiCi

3.已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,

四棱椎P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PCD为正三角形,平面PCD_平面ABCD,PB_AC,E为PD中点.

求证：PB//平面AEC

求二面角E—AC—D的大小.

如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA_平面ABCD,

.ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明：AE_PD；

⑵若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为于，求二

面角E-AF-C的余弦值.

如图，ABCD是边长为a的菱形，且/BAD=60°，

△PAD为正三角形，且面PAD丄面ABCD

求COS〈AB，PD〉的值；

若E为AB的中点，F为PD的中点，求|EF|的值;

求二面角P—BC—D的大小

如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD，PC丄AD.底面ABCD为梯形，AB//DC