海南省2024-2025学年高三上学期学业水平诊断（一）数学试题（含答案解析）.docx

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海南省2024-2025学年高三上学期学业水平诊断（一）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（????）

A． B． C． D．

3．若，则（????）

A． B． C． D．

4．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（????）

??

A．3 B．2 C． D．

5．已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

7．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

8．若函数的图象关于点对称，且，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．自然常数是数学中非常重要的一个常数，17世纪人们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表示来自数学家欧拉的名字.已知函数，则下列命题为真命题的是（????）

A．，

B．，

C．，，

D．，，

10．已知，，若，，则（????）

A． B．

C． D．

11．已知，若函数的图象在点1,f1处的切线与轴平行，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知实数，满足，则的最小值为.

13．已知函数的导函数为，若，为的导函数，则.

14．记函数在区间上的最大值为，最小值为，则.

四、解答题

15．已知函数的部分图象如图所示，点，

(1)求的解析式；

(2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值.

16．已知函数.

(1)求的图象在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；

(2)设函数，若在定义域内单调递减，求实数的取值范围.

17．甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过.

(1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望.

(2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求.

参考数据：.

18．已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点.

(1)求的方程；

(2)求点关于的对称点的轨迹方程；

(3)若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：.

19．记数列的前项和为，已知.

(1)证明：为等比数列；

(2)任意给定，求满足的数对的个数；

(3)若，证明：当时，.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

C

A

C

D

C

A

ABD

BC

题号

11

答案

AD

1．B

【分析】解二次不等式得到集合，由交集定义得出结果.

【详解】依题意得：集合，所以.

故选：B.

2．D

【分析】由复数的四则运算即可求解.

【详解】由题意得，所以.

故选：D

3．C

【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的商数关系化简可得结果.

【详解】.

故选：C.

4．A

【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，.

【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则，

所以，得，又，所以.

??

故选：A

5．C

【分析】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可.

【详解】由题意知在上只能是单调递增，

所以在上单调递增，所以

得.

又单调递增，所以.

综上得.

故选：C

6．D

【分析】由图确定是的极小值点，求得，即可求解.

【详解】由图可知，是的极小值点，由已知得，

令，得，得，经验证符合题意，

所以，由，，

可得，解得.

故选：D

7．C

【分析】根据函数的奇偶性及单调性，结合零点存在定理即可求解.

【详解】若，则当时，，

则恒成立，不符合题意.

若，函数和函数都是偶函数，

且都在上单调递减，在上单调递增，

所以为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，

要使在上存在零点，