完整版4-圆锥曲线中的定点定值问题教师版.docVIP

(完整版)4圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

(完整版)4圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

PAGE

PAGE1

(完整版)4圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲圆锥曲线中的定点定值问题

一、直线恒过定点问题

例1.已知动点在直线上,过点分别作曲线的切线，切点为、,求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；

解:设,

整理得：

同理可得：

，又

，。

例2、已知点是椭圆上任意一点,直线的方程为，直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒

过一定点G，求点G的坐标。

解:直线的方程为，即

设关于直线的对称点的坐标为

则，解得

直线的斜率为

从而直线的方程为：

即

从而直线恒过定点

二、恒为定值问题

例3、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭

圆于A、B两点。

（1)求P点坐标；

(2）求证直线AB的斜率为定值;

解：（1）设椭圆方程为，由题意可得

，所以椭圆的方程为

则,设

则

点在曲线上，则

从而,得，则点的坐标为。

（2）由(1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数,

设PB斜率为，则PB的直线方程为:

由得

设则

同理可得,则

所以直线AB的斜率为定值。

例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点

，求证：为定值.

解:将代入中得

，

，

所以

。

课后作业：

1。在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点。

(Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若?，求证：直线过定点；

解：（Ⅰ）由题意：设直线，

由消y得：，

设A、B,AB的中点E，则由韦达定理得:

=，即,,

所以中点E的坐标为，

因为O、E、D三点在同一直线上，

所以，即，解得，

所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2。

（Ⅱ）证明:由题意知:n〉0,因为直线OD的方程为，

所以由得交点G的纵坐标为，

又因为,，且?，所以,

又由（Ⅰ）知：,所以解得，所以直线的方程为,

即有,令得,y=0，与实数k无关,

所以直线过定点(-1,0）。

2.已知点为曲线上的一点，若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由．

解：设的中点为，垂直于轴的直线方程为,

以为直径的圆交于两点，的中点为．

，

所以，令,则对任意满足条件的，

都有（与无关），即为定值．