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Lecture23:OptionsMarkets

Economics252,Spring2008

Prof.RobertShiller,YaleUniversity

Put-CallParityRelation

•Putoptionprice–calloptionprice=present

valueofstrikeprice+presentvalueof

dividends–priceofstock

•ForEuropeanoptions,thisformulamust

hold(uptosmalldeviationsdueto

transactionscosts),otherwisetherewould

bearbitrageprofitopportunities

BinomialOptionPricing

•S=currentstockprice

•u=1+fractionofchangeinstockpriceif

pricegoesup

•d=1+fractionofchangeinstockpriceif

pricegoesdown

•r=risk-freeinterestrate

BinomialOptionPricing,Cont.

•C=currentpriceofcalloption

•C=valueofcallnextperiodifpriceisup

•C=valueofcallnextperiodifpriceis

down

•E=strikepriceofoption

•H=hedgeratio,numberofshares

purchasedpercallsold

Hedgingbywritingcalls

•InvestorwritesonecallandbuysHshares

ofunderlyingstock

•Ifpricegoesup,willbeworthuHS-Cu

•Ifpricegoesdown,worthdHS-Cd

•ForwhatHarethesetwothesame?

BinomialOptionPricingFormula

•OneinvestedHS-Ctoachieveriskless

return,hencethereturnmustequal(1+r)

(HS-C)

•(1+r)(HS-C)uHS-CudHS-Cd

•SubstforH,thensolveforC

Black-ScholesOptionPricing

CallTthetimetoexercise,!2thevarianceofone-

periodpricechange(asfraction)andN(x)the

standardcumulativenormaldistributionfunction

(sigmoidcurve,integralofnormalbell-shaped

curve)=normdist(x,0,1,1)Excel(x,

mean,standard_dev,0fordensity,1forcum.)

Black-ScholesFormula

ActualSP500Volatility

MonthlyJuly1871-April2008

ImpliedandActualVolatility

MonthlyJan1986-April2008

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