初三（数学）专题18圆的对称性专项讲练-附历年中考真题训练解析.pdfVIP

专题18圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形.

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴无数条；同

时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意隹度，都能够与本身重合，这

是圆特的旋转不变性.

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、

弦心距、弧之间的关系定理及推论.这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

广泛的应.一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也古代的美索不达米亚人最先开始

制造圆轮.日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了

深深的烙印.

例题与求解

【例1】在半径为1的。O中，弦AB,AC的长分别为6和立，则NBAC度数为.

黑（龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注A8与AC不同位置关系.

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，利于圆的问

题的解决.

【例2】如图，在三个等圆上各自一条劣弧AB,CD,EF.如果A8+CD=EF,那么A8+C。

与E尸的大小关系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CDEF

C.AB+CLXEFD.AB+CD与EF的大小关系不能确定

（江苏省竞赛试题）

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考.

【例3】(1)如图I,已知多边形4BO石。是由边长为2的等边三角形4BC和正方形BOEC组成，

00过A,D,E三点,求。0的半径.

(2)如图2,若多边形A8DEC是由等腰△48C和矩形8DEC组成，AB=AC=BD=2,。。过A,D,

E三点，问。0的半径是否改变？

(《时代学习报》数学文化节试题)

解题思路：对于⑴，给出不同解法：对于⑵，。的半径不改变，解法类似⑴.

等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个

从形式到结果依然完美的图形.

三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习.

ABAC,D为84c的中点，DELAB于E.求证：

［例4］如图，已知圆内接△A8C中，

(天津市竞赛题)

解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明.

圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法.同样，圆也为解决直

线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等

或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧.

【例5】在△ABC中，M是A8上一点，且AM2+BM2+CM2=2M+2BM+2cM—3.若P是线段AC