中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷（含答案解析）.docx

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中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．若，则（????）

A． B． C．1 D．

3．已知单位向量和，若，则（????）

A．2 B．1 C． D．

4．已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（????）

A．1：2 B．1：1 C．3：4 D．2：3

5．已知，，则（????）

A． B． C． D．

6．已知函数，则函数的零点个数为（????）

A．2 B．0 C．3 D．无穷

7．将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（????）

A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位

B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位

C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍

D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍

8．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（????）

A．事件“为偶数”的概率为

B．事件“ab为偶数”的概率为

C．设，则X的数学期望为

D．设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12

10．在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（????）

A．若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形

B．直线与所成角的余弦值为

C．三棱锥的体积为定值

D．的最小值为

11．一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（????）

A．存在直线，使得以AB为直径的圆与相切

B．的最小值为

C．的最大值为

D．的最小值为

三、填空题

12．若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为．

13．设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为．

14．已知，则的最小值为．

四、解答题

15．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．

(1)若，，求的面积；

(2)记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围．

16．如图所示，在四棱锥中，，，．

??

(1)若平面，证明：平面；

(2)若底面，，二面角的正弦值为，求的长．

17．已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．

18．已知函数，．

(1)若，证明：；

(2)若，求a的取值范围；

(3)若，记，讨论函数的零点个数．

19．乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．

(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．

(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：．

(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小．

附：，其中．

0.05

0.025

0.010

3.841

5.024

6.635

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

B

B

D

A

C

B

ABD

BCD

题号

11

答案

BCD