四川省达州市2024-2025学年高三上学期第一次诊断性测试数学试卷（含答案解析）.docx

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四川省达州市2024-2025学年高三上学期第一次诊断性测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，若，则集合可以为（????）

A． B． C． D．

2．以双曲线的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

3．已知为直线的倾斜角，则（????）

A． B． C． D．

4．已知三个不同的平面，且，则是的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（????）

??

A． B．

C． D．

6．如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（????）

A． B．平面

C．直线与为异面直线 D．平面

7．如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中（????）

A． B． C． D．

8．已知函数的图象关于原点对称，则下列叙述错误的是（????）

A． B．既有最小值也有最大值

C．有3个零点 D．有2个极值点

二、多选题

9．国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（????）

1

2

3

4

5

6

7

2

3

5

7

8

8

9

A．

B．由散点图知变量和正相关

C．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为

D．收益的方差为6

10．为函数的导函数，记为，依次类推，，已知，数列的前项和为，则（????）

A．

B．

C．存在，使得在上单调递增

D．

11．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（????）

A．存在点使得点.都在以为圆心的圆上

B．存在点使得点是的垂心

C．存在点使得点是的重心

D．点到直线的最短距离为4

三、填空题

12．若复数是方程的一个根，则.

13．二项式，若，则.

14．抛一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为，则不等式成立的概率是.

四、解答题

15．记数列的前项和为，且.数列是等比数列，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和：

16．已知的内角的对边分别为.

(1)证明：；

(2)若的外接圆半径为，且，求的面积.

17．如图，已知正四棱锥的体积为，高为.

(1)求平面与平面的夹角的余弦值；

(2)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.

18．已知函数.

(1)求的极值；

(2)证明：当时，；

(3)若，求的值.

19．已知点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：在变换的作用下得到.

(1)已知曲线在的作用下得到曲线，求的方程；

(2)已知椭圆在变换下保持位置关系不变性，即点在曲线上，在变换下也在曲线上：直线与相切，在变换下直线与也相切.已知点是上一动点，直线是在处的切线.用上述结论求的方程；

(3)已知直线与曲线在第一象限的交点为在处的切线被所截得的弦长记为，求.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

A

B

C

D

D

B

AB

AC

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】根据子集的定义即可判断.

【详解】因为，所以.

故选：C

2．A

【分析】由双曲线标准方程可得右焦点坐标和离心率，即可得到圆的方程.

【详解】由得，，

故右焦点坐标为，离心率为，

∴圆的方程为.

故选：A.

3．A

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果.

【详解】∵为直线的倾斜角，

∴直线斜率，

∴.

故选：A.

4．B

【分析】由不能得到，由可得，据此可确定选项.

【详解】

如图，在正方体中，记平面为平面，平面为平面，平面为平面，

则，，但平