重庆市清华中学校2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷（含解析）.docx

重庆市清华中学高2026届高二上期10月检测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1.已知圆，则圆心与半径分别为（）

A.， B.，

C.， D.，

【答案】D

解析：圆的方程为为标准形式，

即圆心与半径分别为，

故选：D.

2.已知点P是轴上的点，P到直线距离为6，则P点坐标为（）

A(-6，0) B.(-12，0) C.(-12，0)或(8，0) D.(-6，0)或(6，0)

【答案】C

解析：由点P是轴上的点，设点,

由距离公式可得距离，

，

解得：或，

所以点坐标为(-12，0)或(8，0).

故选：C.

3.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，则与所成角的余弦值（）

A. B. C. D.

【答案】D

解析：取中点，连接，

因为为中点，所以，

所以是与所成角，

设，

则，

所以，

故选：D.

4.已知直线的方程为，直线的方程为，若直线，的交点在轴上，则的值为()

A.2 B.

C. D.与有关

【答案】A

解析：在直线方程中，令，得，

即直线与轴的交点为，

点在直线上，，

故选：A.

5.已知向量，则在方向上的投影向量是（）

A. B. C. D.

【答案】A

解析：在方向上的投影向量是.

故选：A.

6.如果实数满足，那么的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】C

解析：是以为圆心，半径的圆，

所求代数式可以理解为求圆上的点到原点的距离，

如图：

显然最远距离和最小距离分别为圆与轴的交点和，

∴的最小值为.

故选：C.

7.如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】C

解析：如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系，

,

则，

则,，，，

设平面的一个法向量，

则，令，则，且面，

则，即，得，故，

所以，，

，则，

P到AB的距离为.

故选：C

8.在三棱锥中，、、两两垂直且，点为外接球上任意一点，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

解析：因为三棱锥中，、、两两垂直且，

将三棱锥补成正方体，

设三棱锥的外接球半径为，球心为，

则，，

取的中点，连接、，

，则为的外接圆的一条直径，则为的外接圆圆心，

所以，平面，平面，，

，，

由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时，

取得最大值，且.

，，

所以，.

当且仅当时，等号成立.

因此，的最大值为.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，共18分．

9.已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列选项中，正确的是（）

A. B. C. D.

【答案】CD

解析：对于A，，故A错误；

对于B，或，故B错误；

对于C，不重合，，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：CD.

10.下列说法正确的是（）

A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B.“”是“直线与直线互相平行”的充要条件

C.直线的倾斜角的取值范围是

D.若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是

【答案】BCD

解析：对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，，

斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立；

若“直线与直线互相垂直”，

则，故或，

所以得不到，即必要性不成立，故A错误；

对于选项B：由直线平行得，解得，

所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确；

对于选项C：直线的倾斜角为，则，

因为，所以，故C正确；

对于选项D：如图所示：

可得，，结合图象知，故D正确；

故选：BCD.

11.如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（）

A.满足平面的点P的轨迹长度为

B.存在唯一的点P满足

C.满足的点P的轨迹长度为

D.存在点P满足

【答案】ABC

解析：对于A，如图（1）所示，在正方体中，可得，

因为平面，平面，所以平面，

同理可证：平面，因为，且平面

所以平面平面，又因为平面，所以平面，

所以点在线段上运动，所以点的轨迹长度为，所以A正确；

对于B，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示，

可得，设，且，

则，

由，

解得，所以存在唯一的点使得，所以B正确；

对于C，由，可得，

即，因为，

当时，可得；当时，可得；

所以点的轨迹为线段，且，

则，所以C正确；

对于D，如图（2）所示，点关于平面的对称点为，

当点三点共线时，最短，

所以，

所以不存在点使得，所以D不正确.

故选：ABC.

三、填空题：