专题13 一线三等角模型证全等（原卷版）.pdfVIP

专题13一线三等角模型证全等

1．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝

90°，AC＝BC，试回答下列问题：

（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝度；

（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与

N，若AM＝6，BN＝2，求MN．

（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN

与MN之间有什么关系？请说明理由．

2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的

感知填写出来：

o

①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90，点D为AB中点，则△AED∽；

②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌；

③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若

AE＝1，CF＝2，则EF的长为．

【模型应用】

（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，），

则点C的坐标为．

【模型变式】

（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝

6cm，求BE的长．

3．直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．

（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌

△CAE；

（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝

角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；

（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动

点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：

G是CE的中点．

4．已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．

（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．

（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点

D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为．

5．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．

（1）求证：CE＝AB．

（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是．

6．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．

（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A，B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．试说明AD＝

CE；

（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点

A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3

个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M，N到达相应的终点时停止运动，过点M

作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．

①CM＝，