备战2025年高考二轮复习数学专题突破练5.docxVIP

专题突破练(分值:60分)

学生用书P143

1.(13分)(2024·浙江杭州模拟)设函数f(x)=(x-1)2ex-ax,若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b.

(1)求实数a,b的值;

(2)判断函数f(x)零点的个数.

解(1)由题意可得f(x)=(x2-1)ex-a.因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b,所以f(0

(2)由(1)知f(x)=(x-1)2ex-x,所以f(x)=ex(x-1)2-xex,令g(x)=(x-1)2-xex,则f(x)的零点个数就是g(x)的零点个数.由于g(x)=(x-1)2+1ex,所以当x1时,g(x)0,g(x)单调递减;当x1时,g(x)0,g(x)单调递增.又g(0)=10,g(1)=-1e0,g(2)=1-2e20,所以g(0)g(1)0,g(1)g(2)0,由零点存在定理可得,?x1∈(0,1),使得g(x1)=0,?x2

2.(15分)已知函数f(x)=alnx-2x.

(1)若a=2,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点,求实数a的取值范围.

解(1)当a=2时,f(x)=2lnx-2x,该函数的定义域为(0,+∞),f(x)=2x-1x,又f(1)=-2,f(1)=1,因此,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y+2=x-1,即x-y-

(2)①当a≤0时,f(x)=ax-

则f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;

②当a0时,由f(x)=alnx-2x=0可得2a=lnxx,令g(x)=lnxx,其中x0,则直线y=2a与曲线y=g(x)的图象在(0,16]上有两个交点,g(x)=xx-lnx2xx=2-lnx2xx,令g(x

x

(0,e2)

e2

(e2,16]

g(x)

+

0

-

g(x)

单调递增

极大值

单调递减

所以函数g(x)在区间(0,16]上的极大值为g(e2)=2e,且g(16)=ln2,作出g(x)的图象如图所示

由图可知,当ln2≤2a

即ea≤2ln2时,直线y=2a与曲线y=g(x)的图象在(0,16]上有两个交点,即f(x)在(0,16]上有两个零点,因此,实数a的取值范围是e,2ln2

3.(15分)(2024·湖北黄石三模)已知函数f(x)=x-lnx+m有两个零点x1,x2.

(1)求实数m的取值范围;

(2)如果x1x2≤2x1,求此时m的取值范围.

解(1)令f(x)=0,即m=lnx-x,令g(x)=lnx-x,则g(x)=1x-1=1-xx,当0x1时,g(x)0,当x1时,g(x)0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.又g(1)=-1,且x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→-∞,又y=g(x)的图象与直线y=m有两个交点,所以,实数m的取值范围是(-∞

(2)由(1)可得m=lnx1-x1,m=lnx2-x2,又0x11x2≤2x1,所以lnx1-x1=lnx2-x2,即lnx2x1=x2-x1,令t=x2x1,t∈(1,2],则lnt=(t-1)x1,所以x1=lntt-1,x2=tlntt-1,记h(t)=lntt-1,t∈(1,2],则h(t)=1-1t-lnt(t-1)2,令H(t)=1-1t-lnt,t∈(1,2],则H(t)=1t2-1t=1-tt2,所以,当t∈(1,2]时,H(t)0,即H(t)单调递减,由于H(1)=0,所以当t∈(1,2]时,H(t)0,所以h(t)=1-1t-lnt(t-1)20,所以函数h(t)在区间(1,2]上单调递减,故x1=h(t)≥h(2)=ln2,即ln2≤x11,而m=g(x

4.(17分)(2024·四川成都一模)已知函数f(x)=exsinx(e是自然对数的底数).

(1)求f(x)的单调递减区间;

(2)记g(x)=f(x)-ax,若0a3,试讨论g(x)在(0,π)上的零点个数.(参考数据:eπ2≈4

解(1)f(x)=exsinx,定义域为R.

f(x)=ex(sinx+cosx)=2exsinx+

令f(x)0,解得sinx+π

解得2kπ+3π4x7π4+2kπ(k∈Z).∴f(x)的单调递减区间为3π4

(2)由已知g(x)=exsinx-ax,

∴g(x)=ex(sinx+cosx)-a.

令h(x)=g(x),则h(x)=2excosx.

∵x∈(0,π),∴当x∈0,π2时,h(x

当x∈π2,π时,h(x

∴h(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减,即g(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减.∵