备战2025年高考二轮复习数学专题突破练9　三角函数与解三角形解答题(提升篇).docxVIP

专题突破练(分值:52分)

学生用书P155

1.(13分)(2024陕西西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且cosAa

(1)证明:b2=ac;

(2)若b=2,sinB=74,求a+c的值

(1)证明因为cosA

所以由余弦定理可得b2

整理得到b2=ac.

(2)解由(1)得b2=ac=4,sinB=74

又因为abc,

所以B∈0,π2,

则cosB=1-

在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,

即4=a2+c2-6,

由a2+c2=10,ac=4,得(a+c)

所以a+c=32(负值舍去).

2.(13分)(2024北京,16)在△ABC中,a=7,A为钝角,sin2B=37bcos

(1)求∠A;

(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.

①b=3;②cosB=1314;③csinA=5

注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.

解(1)∵sin2B=37bcosB

∴2sinB·cosB=37bcos

又A为钝角,

∴B∈0,π2,∴cosB≠0,

∴2sinB=37b

∴bsin

由正弦定理得asinA=b

∴sinA=32,∴A=2

(2)若选①.

由(1)知A=2π3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即49=9+c2-2×3×c×cos2π3,即c2+3c-40=0,解得c=5或

∴S△ABC=12bcsinA=12×3×5×

若选②.

由cosB=1314,得sinB=3

又2sinB=37b,∴b=3

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

即49=9+c2-2×3×c×cos2π

即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),

∴S△ABC=12bcsinA=12×3×5×

若选③.

由csinA=532,得32c=532

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

即49=b2+25-2×b×5×cos2π3,即b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍去),∴S△ABC=12bcsinA=1

3.(13分)(2024河北衡水一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,若D为AC边上一点,满足AB⊥BD,BD=2,且a2=-233S+ab

(1)求∠ABC;

(2)求2AD+

解(1)∵a2=-233S+abcos

∴a2=-33absinC+abcosC

即a=-33bsinC+bcosC

由正弦定理得,sinA=-33sin∠ABCsinC+sin∠ABCcosC

∴sin(∠ABC+C)=-33sin∠ABCsinC+sin∠ABCcosC

∴cos∠ABCsinC=-33sin∠ABCsin

∵sinC≠0,

∴tan∠ABC=-3.

由0∠ABCπ,得∠ABC=2π

(2)如图,由(1)知,∠ABC=2π3,因为AB⊥BD,所以∠ABD=π2,∠

在△BCD中,由正弦定理得DCsin∠

即DC=2sinπ

在Rt△ABD中,AD=BDsin

∴2AD+1CD=22

∵∠ABC=2π

∴A+C=π3

∴2AD+1CD=sinA+sinC=sinπ3-C+sinC=sinπ3cosC-cosπ3sinC+sinC=sin

∵0Cπ3

∴C+π3∈π3,

∴sinC+π3∈32,1,

所以2AD+1CD的取值范围是3

4.(13分)(2024新高考Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=2.

(1)求A;

(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.

解(1)由题得212sin

即sinA+π3=1

又A+π3

所以A+π3=π2,

(2)因为2bsinC=csin2B,所以由正弦定理可得2sinBsinC=sinC·2sinBcosB,又sinB≠0,sinC≠0,所以cosB=22

又0Bπ,所以B=π4,则C=7

由正弦定理得2sin

则b=22,c=6+2,所以△ABC的周长为a+b+c=2+6+3