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数的发展史

引言

数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次

扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论

的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的

如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语

言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想

到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢,

有理数

位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发

展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然

数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，

自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系，因此，作为量的表征，它只能限于去

表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然

数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分

数和负数的出现而得以弥补。

有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃

及采用的是单分数，阿拉伯的分数更加复杂:单分数、主分数和复合分数。这种繁

复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直

到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分

数理论上的卓越贡献。

原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文?八部》对“分”的解释:“分，

别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引

入的。其“合分术”有云:“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译

是:被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高

明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓:通分。刘徽在《九章算术

注》中所言:

众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之

齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数

也。

有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通。刘徽深得其中奥秘，

称:“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩?解结，无往而不理焉。乘

以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”

容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。

为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、

收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是

也多循此途。这就产生一种误解:似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而

引进了负数的。历史的事实表明:负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古

代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首

先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，

就必须引入负数和建立正负数的运算法则。刘徽的注释深刻的阐明了这点:

今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程

自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。

„„故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以

应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。

负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学

家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯和斯蒂

费尔都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹把负数作为方程的根，

但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号;他把负根称作是虚有的。韦达完全不

要负数，巴斯卡则认为从0减去4纯粹是胡说。

负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无

用。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。我

们将会看到，负数并不是惟一的例子。

无理数

无理数的发现，击碎了Pythagoras学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有

理数系的缺陷:一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔

隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续

衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间

内，对数学的发展，起