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高等数学第一册教材答案

一、导数与微分

1.函数与极限

题目：求函数$f(x)=2x^3-5x^2+3x-2$在点$x=2$处的导数。

答案：经计算得，$f(2)=20$。

2.导数的基本公式

题目：计算函数题目：计算函数的导数。

答案：由于答案：由于，所以$f(x)=0$。

3.高阶导数

题目：求函数题目：求函数的二阶导数。

答案：通过计算可以得到答案：通过计算可以得到。

4.隐函数与参数方程的导数

题目：已知曲线的参数方程为题目：已知曲线的参数方程为，，，求

$

rac{{dy}}{{dx}}$。

答案：利用链式法则，可得答案：利用链式法则，可得答案：利用链式法则，可得

。

二、微分中值定理与泰勒公式

1.极值与最值

题目：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$的极值点。

答案：对$f(x)$进行求导，令导数等于零，解得$x=1$或$x=2$。

由二阶导数的正负性可判断出$x=1$为极小值点，$x=2$为极大值点。

2.勒贝格（LHospital）法则

题目：计算极限题目：计算极限。

答案：对分子和分母分别求导，得到答案：对分子和分母分别求导，得到

rac{{e^x}}{{2x-1}}$。再次应用LHospital法则，得到

$

rac{{e}}{{2}}$。

3.泰勒公式

题目：利用泰勒公式展开函数$f(x)==+x)$到$x^3$的最高阶。

答案：泰勒公式的展开形式为$f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+$f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+

，对，对

进行求导后带入$a$，得到$f(x)=x-

rac{{x^2}}{{2}}$f(x)=x-

rac{{x^2}}{{2}}

。

三、不定积分

1.基本积分公式

题目：计算题目：计算。

答案：根据基本积分公式，可得答案：根据基本积分公式，可得

+x+C$，其中$C$为常数。

2.分部积分法

题目：计算题目：计算。

答案：应用分部积分法，令$u=x$，，，则$du=

dx$，，。代入分部积分公式，得到。代入分部积分公式，得到。代入分部积分公式，得到

。

3.简单换元法

题目：计算题目：计算。

答案：进行换元令$u=x^2+1$，则$du=2xdx$。原式变为。原式变为。原式变为

。

四、定积分

1.确定积分的性质

题目：求函数$f(x)=x^2$在区间$[1,3]$上的定积分。

答案：根据定积分的性质，可得答案：根据定积分的性质，可得答案：根据定积分的性质，可得