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巧解排列组合问题

解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。

1.特殊优先，一般在后

对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，要针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例1.0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？

变式．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（）

A．24 B．12 C．10 D．6

2．元素相邻，整体处理

对于某些要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看做一个元素，再与其他元素进行排列。

例2.有件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法共有48种，则_________.

变式．现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球．将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）

解析：种

3.元素间隔，分位插入

对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。

例3.5个男生3个女生排成一排，要求女生相邻且不可排两端，共有多少种排法？

变式.毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：

（1）、两人不排在一起，有几种排法？

（2）、两人必须排在一起，有几种排法？

（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？

4.排列组合混合，先选后排

例4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班一位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A.210种B.420种C.630种D.840种

变式.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）

A. B. C. D.

5.顺序固定，采用“除法”

对于某几个元素顺序一点的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例5.由3个小品节目与4个跳舞节目组成的文艺晚会，若3个小品的先后顺序一定，则一共可排出多少不同的种节目单？

6.机会均等，采用“比例法”

有些排列应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，采用“比例法”求解。

例6.六个人站成一排，若甲不站排头，也不站排尾，有多少种排法？

变式.3名女生和5名男生排成一排．

（1）若女生全排在一起，有多少种排法？

（2）若女生都不相邻，有多少种排法？

（3）其中甲必须排在乙左边（可不邻），有多少种排法？

（4）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？

7.“小团体”排列，先“团体”后整体

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团“，视为一个元素再与其他元素排列。

例7．四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有多少种？

8.相同元素进盒，用挡板分隔

例8．10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种分法？

。

9.不同元素进盒，先分堆再排列

对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不少于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。

例9.5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一人，有几种不同的分配方法？

小试牛刀

1．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男?女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（）

A．72种 B．108种 C．144种 D．210种

2．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（）

A．24 B．12 C．10 D．6

3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）

A.每人都安排一项工作的不同方法数为54

B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为

D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

4.（多选题）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正