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数学建模的十大算法

一、蒙特卡罗算法

1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家Johnvon

Neumann,StanUlam和NickMetropolis

共同发明了，蒙特卡罗方法。

蒙特卡罗方法（MonteCarlomethod），又称随机抽样或统计

模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见

的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。

由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满

意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到

很圆满的结果。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量

的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这

个随机变量的某些数字特征，并将其作

为问题的解。

有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：

假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度

和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆

子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面

积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。

在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数

学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过

程，通过模拟实验的结果，作为问题的

近似解。

蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解

决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：

I、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。

II、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映

了统计涨落的规律。

III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒

子输运问题的好方法。

等等。

此算法，日后还会在本BLOG内详细阐述。

二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于

这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很

多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢

山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，

观察数据的走向进行处理。

此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉

MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题

数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型

都可以归结为一组不等式作为约束条件

、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就

是关键了，比如98年B题，用很多不等式

完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用Lindo、Lingo

等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。

四、图论算法

这类问题算法有很多，

包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，

二分匹配等问题。

关于此类图论算法，可参考IntroductiontoAlgorithms--算法导

论