专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）.pdf

专题24.7切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】

【人教版】

【题型1利用切线长定理求周长】1

【题型2三角形内切圆中求角度】5

【题型3三角形内切圆中求面积】9

【题型4三角形内切圆中求线段长度】13

【题型5三角形内切圆中求半径】17

【题型6三角形内切圆中求最值】20

【题型7外接圆和内切圆的综合运用】25

【知识点1切线长定理及三角形的内切圆】

（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

（2）三角形内切圆

内切圆的圆心是A

与三角形各边都三角形三个内角三角形的内心到

相切的圆叫做三的角平分线的交三角形三边的距

三角形内切圆角形的内切圆点，叫做三角形的离相等I

内心

BC

【题型1利用切线长定理求周长】

【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中

的一个切点，

已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则

剪下的△AMN的周长为20cm．

【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．

【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，

∴设E、F分别是⊙O的切点，

故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，

∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．

故答案是：20cm．

【变式1-1】（2022秋•莒南县期末）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、

PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周

长．

【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由

PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与

PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．

【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，

∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1，

∵PA、PB切⊙O于A、B两点，

∴PA＝PB=，

2

即•=m﹣1，

22

即m2﹣4m+4＝0，

解得：m＝2，

∴PA＝PB＝1，

∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，

∴AD＝ED，BC＝EC，

∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．

【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于

点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（）

A．14B．20C．24