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大一高等数学一教材答案

【前言】

大一高等数学一教材是许多大学本科阶段学生所学习的一门重要课

程。本文将为大家提供一些大一高等数学一教材中常见题目的答案，

以帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。

【第一章函数与连续】

1.1函数的概念与表示法

1.函数是一种映射关系，将自变量的取值映射到因变量的取值上。

常见的函数表示法有函数表达式、函数图像、函数关系式等。

2.函数函数的定义域为的定义域为，值域为，值域为。证明

该函数是增函数。

解：对于任意$a,b$，若$ab$，则$f(a)f(b)$。即有。即有。即有

，两边同时平方可得$ab$。因此，函数。因此，函数是增

函数。

1.2常用初等函数及其图像

1.线性函数的一般式为$f(x)=kx+b$，其中$k$为斜率，$b$为截距。

2.幂函数的一般式为$f(x)=ax^n$，其中$a$为常数，$n$为指数。

【第二章一元函数的基本性质与应用】

2.1一元函数的极限

1.定义：当自变量$x$趋于某个值$c$时，如果函数$f(x)$无论取何

种趋近方式，其函数值都无限接近于常数$L$，则称函数$f(x)$当$x$趋

于$c$时的极限为$L$，记为，记为。

2.计算：常用极限计算法则包括四则运算法则、复合函数法则、夹

逼定理等。

2.2函数的连续性与间断点

1.定义：若函数$f(x)$在$x=c$的左极限、右极限和函数值$f(c)$存

在且相等，则称函数$f(x)$在$x=c$处连续。

2.函数连续的性质：连续函数的和、差、积、商、复合函数仍为连

续函数。

3.常见间断点类型：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等。

【第三章导数与微分】

3.1导数的概念与几何意义

1.定义：函数$f(x)$在$x_0$处的导数定义为处的导数定义为处的导数定义为

，记为$f(x_0)$或

$

rac{{dy}}{{dx}}igg|_{{x=x_0}}$。

2.几何意义：导数表示了函数曲线在某一点处的切线斜率。

3.2导数计算法则

1.基本导数：$(x^n)=nx^{n-1}$，，，，

x$等。

2.四则运算法则：和差求导、积的求导法则、商的求导法则等。

【第四章不定积分与定积分】

4.1不定积分

1.定义：若函数$F(x)=f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$的一个不定积分，

记为记为，其中$C$为常数。

2.常见不定积分公式：$(x^n)=nx^{n-1}$，$(e^x)=e^x$，，

x)=

rac{{1}}{{x}}$等。

4.2定积分

1.定义：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，将区间$[a,b]$划分成

$n$个小区间，每个小区间长度为个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上取一点，在每个小区间上取一点

，那么当最大的小区间长度，那么当最大的小区间长度趋近于0时，如

果极限果极限果极限

存在，且与区间划分及取点

方法无关，那么该极限值称为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记

为为。

2.计算：定积分计算可使用定积分的基本性质、牛顿—莱布尼茨公

式、换元积分法等。

【第五章一元函数的级数】

5.1数项级数的概念与性质

1.定义：数项级数是指由一列数定义：数项级数是指由一列数按照一

定次序排列所得