2024年高等数学基本知识点大全.doc

高等数學基本知识點

、函数与极限

1、集合的概念

一般地我們把研究對象统称為元素，把某些元素构成的總体叫集合（简称集）。集合具有确定性（給定集合的元素必须是确定的）和互异性（給定集合中的元素是互不相似的）。例如“身材较高的人”不能构成集合，由于它的元素不是确定的。

我們一般用大字拉丁字母A、B、C、……表达集合，用小写拉丁字母a、b、c……表达集合中的元素。假如a是集合A中的元素，就說a属于A，记作：a∈A，否则就說a不属于A，记作：aA。

⑴、全体非负整数构成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N

⑵、所有正整数构成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、全体整数构成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、全体有理数构成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、全体实数构成的集合叫做实数集。记作R。

集合的表达措施

⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表达集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特性来表达集合。

集合间的基本关系

⑴、子集：一般地，對于两個集合A、B，假如集合A中的任意一种元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包括关系，称集合A為集合B的子集，记作AB（或BA）。。

⑵相等：怎样集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素与集合B中的元素完全同样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：怎样集合A是集合B的子集，但存在一种元素属于B但不属于A，我們称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的結论：

①、任何一种集合是它自身的子集。即AA

②、對于集合A、B、C，假如A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算

⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合称為A与B的并集。记作A∪B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次。）

即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合称為A与B的交集。记作A∩B。

即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。

⑶、补集：

①全集：一般地，假如一种集合具有我們所研究問題中所波及的所有元素，那么就称這個集合為全集。一般记作U。

②补集：對于一种集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合称為集合A相對于全集U的补集。简称為集合A的补集，记作CUA。

即CUA＝｛x|x∈U，且xA｝。

集合中元素的個数

⑴、有限集：我們把具有有限個元素的集合叫做有限集，具有無限個元素的集合叫做無限集。

⑵、用card来表达有限集中元素的個数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。

⑶、一般地，對任意两個集合A、B，有

card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

我的問題：

1、學校裏開运動會，设A＝｛x|x是参与一百米跑的同學｝，B＝｛x|x是参与二百米跑的同學｝，C＝｛x|x是参与四百米跑的同學｝。學校规定，每個参与上述比赛的同學最多只能参与两项，請你用集合的运算阐明這项规定，并解释如下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。

2、在平面直角坐標系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表达直线y＝x，從這個角度看，集合D={(x,y)|方程组：2x-y=1,x+4y=5}表达什么？集合C、D之间有什么关系？請分别用集合語言和几何語言阐明這种关系。

3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。试判断B是不是A的子集？与否存在实数a使A＝B成立？

4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個数与交集、并集元素個数之间的关系呢？

5、無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较這两個集合中元素個数多少的措施吗？

2、常量与变量

⑴、变量的定义：我們在观测某一現象的過程時，常常會碰到多种不一样的量，其中有的量在過程中不起变化，我們把其称之為常量；有的量在過程中是变化的，也就是可以取不一样的数值，我們则把其称之為变量。注：在過程中尚有一种量，它虽然是变化的，不過它的变化相對于所研究的對象是极其微小的，我們则把它看作常量。

⑵、变量的表达：假如变量的变化是持续的，则常用区间来表达其变化范围。在数轴上来說，区间是指介于某两點之间的线段上點的全体。

区间的名称

区间的满足的不等式

区间的记号

区间在数轴上的表达

闭区间

a≤x≤b

[a，b]

開区间

a＜x＜b

（a，b）

半開区间

a＜x≤b或a≤x＜b

（a，b]或[a，b）

以上我們所述的