2024—2025学年上海市曹杨第二中学高二上学期10月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市曹杨第二中学高二上学期10月月考数学试卷

一、填空题

(★)1.若函数的最小正周期是______.

(★)2.设等差数列的前n项和为.若，则______.

(★)3.若平面平面，，，则直线与的位置关系不可能是______.（填“相交”、“平行”、“异面”之一）

(★★)4.已知为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则______.

(★)5.在中，，，，则______.

(★★★)6.在正三棱柱中，，则直线到平面的距离为_______

(★★)7.设为第二象限角.若，则______.

(★)8.已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的体积为______．

(★★)9.如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米.

(★★)10.已知成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为______．

(★★★)11.如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是______.

(★★★★)12.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________．

二、单选题

(★★)13.空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

(★★)14.已知l是平面α的一条斜线，直线，则（）

A．存在唯一一条直线m，使得l⊥m

B．存在无数多条直线m，使得l⊥m

C．存在唯一一条直线m，使得l∥m

D．存在无数多条直线m，使得l∥m

(★★)15.对于数列，以下命题正确的个数有（）

①若，则为等比数列；②若，则为等比数列；③若，则为等比数列.

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

(★★★)16.已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（）

A．

B．

C．

D．

三、解答题

(★★★)17.已知复数．

(1)若，求m的值；

(2)若z是纯虚数，求的值．

(★★)18.如图，在正方体中，.

(1)证明：直线平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

(★★★)19.如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.

(1)求证：平面平面；

(2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值.

(★★★)20.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.

(1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(2)证明：平面；

(3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值.

(★★★★)21.已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列.

(1)已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）；

(2)设.若首项为1，公比为q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围；

(3)已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列为有界变差数列.