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研究生考试考研数学(二302)复习试卷及答案指导

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、设函数fx=x

A.fx在x

B.fx在x=

C.fx在x=

D.fx在x

答案：B

解析：

首先，我们需要检查fx在x=0的连续性。由定义知，对于所有x≠0，fx=x2

由于?1≤sin1

因此，当x→0时，两边都趋向于0，根据夹逼定理，我们有limx→0

接下来，我们检查fx在x=0是否可导。函数fx

我们知道sin1h的值域是?1,1，所以hsin1h的绝对值不会超过h。因此，随着h趋向于0，hsin1

综上所述，正确答案是B。

2、设函数fx=ex?3x

A.1

B.-2

C.3

D.0

答案：A

解析：

函数fx在x

f

将fx

f

f

可以拆分为：

f

已知limh→0eh

f

这里计算有误，正确计算应为：

f

利用泰勒展开，eh≈1

f

f

f

f

因此，正确答案是B.-2。

3、设函数fx=x2+

A.0

B.1

C.2

D.导数不存在

答案：D

解析：要确定函数fx在x=0处是否有导数，我们需要检查左导数和右导数是否相等。对于分段定义的函数f

左导数(当x从左侧趋近于0时)是f′x=

右导数(当x从右侧趋近于0时)是f′x=

因为左导数不等于右导数(0≠2)，所以fx在

4、设函数fx

A.x

B.x

C.x

D.x

答案：B

解析：首先对函数fx求导，得到f′x=3x2?12x+9。令f′x=0，解得x=1和x=3。接下来，求

5、设函数fx=x

A.fx在x

B.fx在x=

C.fx在x=

D.fx

答案：B

解析：

为了确定fx在x=0处的导数是否存在，我们需要计算fx在该点的左右导数，并检查它们是否相等。对于给定的分段函数，在

代入fx

f

我们知道sin1h的值在?1,1之间振荡，但是当h接近于0时，h自身会无限接近于0。因此，无论sin1

这说明选项B正确，即fx在x=0处是可导的，且其导数值为0。其他选项均不符合上述分析结果。此外，由于x2sin1x是一个连续函数（除了x=0外），并且在x=0时通过定义使得fx连续，我们可以确认

6、已知函数fx

A.x

B.x

C.x

D.x

答案：A

解析：

首先，求函数的一阶导数：

f

令一阶导数等于0，解得极值点：

3

x

x

接下来，求函数的二阶导数：

f

将极值点代入二阶导数，得到：

f

f

由于f″10，故x=

因此，函数的极值点为x1=0

7、设fx是定义在R上的连续函数，且满足条件：对于任意的x∈R，都有fx+

A.3

B.5

C.7

D.9

答案：B

解析：

根据题目给出的递推关系fx+1=fx+

首先计算f1

f

然后使用得到的f1来计算f

f

但是这里有一个小陷阱，我们实际上应该这样做：

由于f1

所以当x=

f

因此正确答案是选项B，即f2

8、设函数fx=x

A.?

B.?

C.?

D.?

答案：A

解析：首先，观察函数的分母x2?2x+1，这是一个完全平方式，可化简为x?12。因此，当x

9、设函数fx=x

A.f

B.f

C.f

D.f

答案：A

解析：对fx

因此，正确答案是A。

10、设函数fx=x3?

A.1

B.2

C.3

D.0

答案：C

解析：首先对函数fx=x3?3x+2求导，得到f′x=3x2?3。令f′x=0，解得x=±1。因此，函数f

二、计算题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

第一题

已知函数fx=e2x

答案：

最大值：f

最小值：f

解析：

首先求函数的导数f′

f

求导数的导数f″

f

找到f′

此方程较难直接解出，因此我们可以通过观察f′

当x=1时，f′1=

当x=2时，f′2=

当x=3时，f′3=

由此可知，在区间1,3上，函数

因此，函数在区间1,3上的最小值为f1

综上，函数fx在区间1,3上的最大值为e

第二题：

已知函数fx=x

（1）求函数fx

（2）求函数fx

（3）确定函数fx

答案：

（1）极值点：

首先，令f′x=

化简得x2

因式分解得x?

所以，x=1或

接下来，求二阶导数f″

f″

在x=1处，f″

在x=3处，f″

（2）拐点：

令f″x=

所以，x=

检查x=

当x2时，

当x2时，

因此，x=

（3）单调区间和凹凸区间：

单调区间：

当f′

当f′

由于f′

当x1或x3时，f′

当1x3时，

凹凸区间：

根据二阶导数的符号，我们已经知道函数在?∞,2

解析：

（1）通过求一阶导数等于零的点来确定极值点，再通过二阶导数的符号判断极值点的类型（极大值或极小值）。

（2）通过求二阶导数等于零的点来确定拐点，并通过二阶导数的符号变化来确定拐点两侧的凹凸性。

（3）通过一阶导数的符号变化