2024—2025学年浙江省杭州市萧山区第八高级中学等两校高三上学期联考（四）数学试卷.docVIP

2024—2025学年浙江省杭州市萧山区第八高级中学等两校高三上学期联考（四）数学试卷

一、单选题

(★★★)1.设全集，集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.某公司通过研发技术、提升工艺、提高效率等方法来降低成本.假设该公司的年成本以每年10%的比例降低，要使年成本低于原来的，至少需要年，则（）（参考数据：，）

A．7

B．8

C．9

D．10

(★★★)4.已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（）

A．1

B．

C．

D．

(★★)6.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于()

A．10

B．9

C．8

D．5

(★★★)7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.不等式对任意恒成立，则的最小值为（）

A．

B．2

C．

D．

二、多选题

(★★)9.为了解鸭梨种植园的亩收入（单位：万元）情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得到的亩收入样本均值，样本方差；从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩收入服从正态分布，假设“高标准梨园”的亩收入服从正态分布，则（）.（若服从正态分布，则

A．

B．

C．

D．

(★★)10.已知函数，则（）

A．的最小正周期为

B．为的图象的一个对称中心

C．在上单调递增

D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点

(★★★★)11.在平面直角坐标系中，曲线经过坐标原点，且上的点满足：，且到点的距离与到定直线的距离之积为，则（）

A．

B．点，均在曲线上

C．曲线在第二象限的点到轴的距离的最大值为

D．

三、填空题

(★★)12.已知复数，则______.

(★★)13.已知数列是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______.

(★★★★)14.已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则__________.

四、解答题

(★★★)15.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，△为等边三角形.

(1)求证：；

(2)若，，求与平面所成角的正弦值.

(★★★)16.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：

A大学

B大学

C大学

D大学

2023年毕业人数（千人）

8

7

5

4

2023年考研人数（千人）

0.6

0.4

0.3

0.3

(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；

(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江?小沈选择考研的概率分别为，该省对小江?小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.

参考公式：.

(★★★)17.已知点为椭圆上不同两点，点为椭圆的一个焦点.

(1)求椭圆的标准方程和离心率；

(2)若的面积，求直线的方程.

(★★★)18.已知曲线在处的切线过点.

(1)试求的值；

(2)讨论的单调性；

(3)证明：当时，.

(★★★★)19.已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：

①；

②对任意，存在，使得，则称为数表．

(1)判断是否为数表，并求的值；

(2)若数表满足，求中各数之和的最小值；

(3)证明：对任