2024—2025学年上海市大同中学高三上学期10月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市大同中学高三上学期10月月考数学试卷

一、填空题

(★★)1.函数在所有零点之和为________．

(★★)2.在复平面上，已知复数和的对应点关于直线对称，且满足，则________．

(★)3.已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的差为________．

(★★★)4.在的展开式中系数最大的项是第________项．

(★★)5.已知向量与，则在方向上的数量投影为________．

(★★★)6.若，，则________（用，表示）．

(★★★)7.将序号分别1，2，3，4，5的5张参观券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则甲恰好分得2张参观券连号的概率为________．

(★★★★)8.已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为__________.

(★★)9.已知，则________．

(★★★)10.已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是__________.

(★★)11.设为正四面体棱上的点，由点到四个面中心的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有________个．

(★★★★)12.给定正整数及正数，对于满足不等式的所有等差数列，，…，则的最大值为________．

二、单选题

(★★★)13.在平面直角坐标系中，双曲线、的中心在原点，焦点都在x轴上，且与不重合．记、的离心率分别为、，则“”是“与没有公共点”的（）条件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

(★★★)14.将函数的图象向左平移个单位长度得到数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（）．

A．

B．

C．

D．

(★★★★)15.给定实数和，若函数，当（）时，有最大值无最小值．

A．

B．

C．

D．

(★★★★)16.已知函数，给出下列四个判断：①的图像是轴对称图形；②方程有实数解．以下判断正确的是（）

A．①正确②不正确

B．①不正确②正确

C．①②都正确

D．①②都不正确

三、解答题

(★★★)17.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且为钝角，

(1)求；

(2)求的取值范围是．

(★★★)18.如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点．

(1)若平面，求长度；

(2)证明：平面；

(★★★)19.在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：

题号

1

2

3

4

5

考前预估难度

测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：

题号

1

2

3

4

5

实测答对人数

16

16

14

14

4

(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；

(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；

(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

(★★★★★)20.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点．

(1)设是“果圆”的半椭圆上任意一点，且，．求证：当取得最小值时，在点处；

(2)若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标；

(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，