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2024—2025学年浙江省台州市温岭市新河中学高二上学期12月阶段性考试数学试卷
一、单选题
(★★)1.已知递增的等差数列的前项和为,则()
A.70
B.80
C.90
D.100
(★★★)2.已知椭圆,点为左焦点,点为下顶点,平行于的直线交椭圆于两点,且的中点为,则椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)3.两个等差数列和的前项和分别为、,且,则等于()
A.
B.
C.
D.
(★★★)4.已知向量满足与的夹角为,设,数列的前项和为,则()
A.120
B.180
C.210
D.420
(★★)5.《九章算术》是我国古代数学名著.书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马中,平面,底面是矩形,E、F分别为PD,PB的中点,为直线CP上的动点,,,若平面,则()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★★★)6.已知线段是圆的一条动弦,,直线与直线相交于点,下列说法正确的是()
A.直线恒过定点
B.直线与圆恒相交
C.直线,的交点在定圆上
D.若为中点,则的最小值为
(★★★)7.首项为正数,公差不为0的等差数列,其前项和为,则下列4个命题中正确的有()
A.若,则,;
B.若,则使的最大的n为15;
C.若,,则中最大;
D.若,则.
(★★★)8.已知抛物线,为其焦点,直线与抛物线交于,两点,则下列说法正确的是()
A.若点为抛物线上的一点,点坐标为,则的最小值为
B.若直线过焦点,则以为直径的圆与相切
C.若直线过焦点,当时,则
D.设直线的中点坐标为,则该直线的斜率与无关,与有关
(★★★★)9.如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱的中点,G是棱上的一个动点,则下列说法正确的是()
A.平面截正方体所得截面为六边形
B.点G到平面的距离为定值
C.若,且,则G为棱的中点
D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题
(★★★)10.等差数列的前项之和为,若,,则______.
(★★★)11.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________.
(★★)12.已知为平面的一个法向量,为内的一点,则点到平面的距离为_________.
(★★★★)13.已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点,其中为左焦点,是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点,则的最小值为________.
四、解答题
(★★★)14.等差数列的前项和为,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
(★★★)15.如图,在三棱锥中,若,,,点为棱上一点,且,点为线段的中点
(1)求的长度;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(★★★★)16.已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点,且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于,垂足为点,线段的垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;
(3)设与轴交于点,在曲线上是否存在一点,使得以为直径的圆与有除、外的公共点,若存在求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
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