2024—2025学年上海市第一中学高三上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市第一中学高三上学期期中考试数学试卷

一、填空题

(★)1.已知集合，，则______________

(★★)2.复数满足，则__________．

(★★)3.函数的最小正周期为________．

(★★)4.始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.

(★★)5.若实数，满足，则的最小值为__.

(★★)6.已知，则在方向上的投影向量为______________

(★★★)7.方程的解集为______________

(★★)8.若函数在区间上是严格减函数，则实数a的最大值为________

(★★)9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________

(★★★)10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______.

(★★★)11.

如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________.

(★★★★)12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________

二、单选题

(★★)13.设，则“”是“”的（）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)14.若函数在处的导数等于，则的值为（）

A．0

B．

C．

D．2a

(★★★)15.已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（）

A．若，函数关于直线对称

B．若，函数在上是增函数

C．若函数在上最大值为1，则

D．若，则函数的最小正周期是

(★★★★)16.已知，集合，，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）

命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；

命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.

A．①真命题；②假命题

B．①假命题；②真命题

C．①真命题；②真命题

D．①假命题；②假命题

三、解答题

(★★)17.已知，且.

(1)求向量与的夹角大小；

(2)求.

(★★)18.设常数，，.

（1）若是奇函数，求实数的值；

（2）设，中，内角的对边分别为.若，，，求的面积.

(★★)19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，为数列的前项和，求.

(★★★)20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：

①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.

(1)已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；

(2)判断使用参数是否满足条件，并说明理由；

(3)求同时满足条件①、②的参数的取值范围.

(★★★★)21.已知.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：；

(3)若，，数列满足，.求证：当时，.