人教版九年级数学上册圆《探究四点共圆的条件》同步学案.docx

数学活动2《探究四点共圆的条件》学案

一、【知识回顾】

1.到定点的距离等于定长的点在同一个圆上.

2.作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小.

二、【提出问题】

A?问题1：在平面内过一点A作圆.

A?

A

A?

B?

问题2：在平面内过两点A,B作圆.

问题3：在平面内过三点A,B,C作圆.

①当三点不在同一直线上时.

②当三点在同一直线上时.

知识链接：反证法的基本思路：

假设命题的结论不成立;②经过推理得出矛盾;③得出原命题成立.

问题4：在平面内过A,B,C,D四点作圆.

当四点在同一条直线上时.

当四点中任意三点在同一条直线上时.

当四点中任意三点不在同一直线上时.

三、【活动探究】

A引例：过下列四边形中的四个顶点能作一个圆吗？

A

正方形DDAAD

正方形

D

D

A

A

D

矩形

矩形

CCCBBB

C

C

C

B

B

B

等腰梯形

等腰梯形

A

A

DADA

D

A

D

A

B

B

特殊的筝形DC一般的平行四边形CB

特殊的筝形

D

C

一般的平行四边形

C

B

C

B

【思考】

正方形、矩形、等腰梯形、特殊的筝形有哪些共同特征?

边的方面???角的方面对角线的方面

边

【探究的思路】：

四边形

【猜想】：.

【猜想验证】验证：.

已知：在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°.

求证：四边形ABCD的四个顶点共圆.

备用图

备用图2

备用图1

四、【归纳总结】

四点共圆的条件：

方法1：.

方法2：.

例题：如图在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.

备用图求证:AD=CD

备用图

五、【基础巩固】

1.如图1，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A，那么同时经过点

A，B，C，D（填“能”或“不能”）作一个圆.

图1

图1

图3图

图3

图2

2.如图2，Rt△ABC和Rt△ADC中,∠ADC=∠ABC=90°,∠CAD=20°,

则∠DBA=.

3.（2019德州）如图3,点O是线段BC的中点,点A，C，D到点O的距离相等，

若∠ABC=40°,则∠ADC=.

六、【拓展提升】

4.如图4,在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD边的中点，

连接AE,BF交于点P,连接PD,求tan∠APD的值.

图4

图4

七、【课堂小结】

1.本节课我们学习了哪些知识？

2.本节课运用了哪些数学思想方法？

八、【课后巩固】

1．如图5，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠ADC=85°，在探究“四点共圆的条件”的活动中，知道∠ADC与∠ABC互补，若∠EBC是四边形ABCD的一个外角，则∠EBC=.

图6图7

图6

图7

图5

图5

2.如图6，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=136°，则它的一个外角∠DCE等

于.

如图7，在△ABC中，AB=AC，点D在BA延长线上，点E在BC边上，

∠CAE=2∠ACD，∠BAE=60°.

（1）求证：A，E，C，D四点共圆．

（2）若AD=3，△ABE的面积为10，求CE的长．

4.如图8,在四边形ABCD中AB=AC，∠BAC+∠BDC=180°,CE∥DB交AD于E,

图8求证：EC=DC.

图8