2024—2025学年上海市建平中学高三上期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市建平中学高三上期中考试数学试卷

一、填空题

(★)1.已知集合，则__________．

(★★)2.复数，则__________________．

(★★)3.函数的定义域为__________________．

(★★)4.不等式的解集为__________________．

(★)5.已知，则__________．

(★★)6.已知等差数列的前项和为，若，则________．

(★★)7.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______.

(★★★)8.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．

(★★★)9.已知，则的最大值为________．

(★★★)10.定义在上的奇函数，满足，则不等式的解集为________．

(★★)11.在1，2，3，4，5的所有排列中，满足条件的排列个数为________．

(★★★★)12.若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为________．

二、单选题

(★★)13.下列函数是偶函数的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)14.若直线与双曲线无公共点，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)15.已知函数为偶函数，则的对称中心为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)16.若数列满足对任意的正整数均有，则下列说法错误的是（）

A．存在数列使得对任意的正整数都满足；

B．存在数列使得对任意的正整数都满足；

C．存在数列使得对任意的正整数都满足；

D．存在数列使得对任意的正整数都满足；

三、解答题

(★★★)17.如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

(★★★)18.已知函数．

(1)若是三角形中一内角，且，求的值；

(2)若，且，求的值．

(★★★)19.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组，，，，，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题．

(1)若根据这次成绩，学校准备淘汰70%的同学，仅保留30%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到1分)

(2)从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名同学的分数：，已知这10个分数的平均数．方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差．

(★★★★★)20.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线于两点.

(1)若，求点到直线的距离；

(2)若，求直线的方程；

(3)若点，直线分别交双曲线于两点，设直线的斜率为，问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

(★★★★★)21.给定函数，设，若存在实数，使得在区问上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”．

(1)判断是否存在“正弦单调区间”，并说明理由；

(2)若，证明：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值；

(3)若，当变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合．