2024—2025学年上海市南洋中学高二上学期12月学习能力诊断测试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市南洋中学高二上学期12月学习能力诊断测试数学试卷

一、填空题

(★★)1.直线和的夹角为_____.（用反三角形式表示）

(★★)2.方程表示圆，则的取值范围是__________

(★★)3.直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为______．

(★)4.若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为___________

(★)5.已知，，，若、、三向量共面，则实数等于_____.

(★★★)6.在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____.

(★★)7.如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是____．

(★★)8.如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则___________.

(★★★)9.已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的标准方程为_____.

(★★★)10.在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为________.

(★★★)11.新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为_____.

(★★★)12.如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为_____.

二、单选题

(★★)13.已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

(★)14.若直线与直线平行，则的值为（）

A．3

B．

C．或3

D．以上都不正确

(★★★)15.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)16.已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（）

A．3

B．

C．

D．

三、解答题

(★★)17.已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.

(1)求直线的方程；

(2)直线恒过定点，求点到直线的距离.

(★★★)18.如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求点B到平面的距离．

(★★★)19.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.

(1)求球冠所在球的半径R(结果用h?r表示)；

(2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积.

(★★★)20.如图，在直角梯形中，，，且现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图．

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值；

(3)求二面角的正切值．

(★★★)21.在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．

(1)当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；