专题25 二次函数综合题——存在性平行四边形类（解析版） .pdf

2023年八升九数学暑假培优计划

专题25二次函数综合题——存在性平行四边形类

=2++3≠0

1．如图1，抛物线（）与轴交于(−1,0)，(3,0)两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点(1,3)的直线（直线除外）与抛物线交于G，

H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，

说明理由．

【答案】(1)y=−x2+2x+3

(2)(2,3)或(1−7,−3)或(1+7,−3)

(3)定值，理由见详解

AB

【分析】（1）将(−1,0)，(3,0)两点代入抛物线的解析式即可求解；

CCP∥x∥BCx

（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于

P1P1P1Q1

=3−2+2x+3=3x∥BC

Q1，可得yP1，由x，可求解；②在轴的负半轴上取点Q2，过Q2作Q2P2，交抛物线

=BCCBD⊥xxD=−3BC

于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为

P2Q2P2Q2P2P2P2yP2

平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足BQ=BQ1，也满足条件，只是点P的坐

标仍是①中的坐标；

22m+n=2−k

GHy=k+3GH

（3）可设直线的解析式为(x−1)，(m,−m+2m+3)，(n,−n+2n+3)，可求mn=−k，

m3

DGy=−x+m+3EM=1−EN

再求直线的解析式为(m−1)，从而可求m−1，同理可求，即可求解．

∵y=a2+bx+3(a≠0)AB

【详解】（1）解：抛物线x与x轴交于(−1,0)，(3,0)两点，

a−b+3=0

∴

9a+3b+3=0，

a=−1

解得b=2，

故抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．

CCP