第三章-力学量的算符..ppt

（7）逆算符（8）算符函数例如:（10）转置算符(11)厄密共轭算符力学量的可能值和相应几率现在我们再来讨论在一般状态?(x)中测量力学量F，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。{cn}则是F空间的波函数证明：当ψ(x)已归一时，同样cn也是归一的。所以|cn|2具有几率的意义，cn称为几率振幅。我们知道|ψ(x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，|c(p)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|cn|2则表示F取λn的几率。综上所述，量子力学作如下假定：**第三章力学量的算符§3-1算符的引入代表对波函数进行某种运算或变换的符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：?u=v表示?把函数u变成v，?就是这种变换的算符。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。体系状态用坐标表象中的波函数ψ(r)描写时，坐标x的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量px在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：三维情况：角动量算符Hamilton算符的粒子在势场中)(2)(??)(22rVmrVTHVTHrVrhrr+?-=+=?+=问题：算符、动量算符、Hamilton算符其中Fn,ψn分别称为算符F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。§3-2算符的本征值和本征函数问题：本征值、本征态、本征方程（1）线性算符?(c1ψ1+c2ψ2)=c1?ψ1+c2?ψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符?称为线性算符例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。§3-3算符的运算规则线性厄米算符（2）算符相等若两个算符?、?对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即?ψ=?ψ，则算符?和算符?相等记为?=?。（3）算符之和若两个算符?、?对体系的任何波函数ψ有：(?+?)ψ=?ψ+?ψ=êψ则?+?=ê称为算符之和。算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。?-?=?+（-?）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4）算符之积若?(?ψ)=(??)ψ=êψ则??=ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即??≠??这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（5）对易关系若??≠??，则称?与?不对易。显然二者结果不相等对易关系量子力学中最基本的对易关系。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。（6）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[?,?]≡??-??不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。返回1.定义:设?ψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符?之逆?-1为:?-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性质I:若算符?之逆?-1存在,则??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0证:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因为ψ是任意函数,所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性质II:若?,?