数值分析第二章2.pptVIP

数值分析;1误差来源与种类;2绝对误差和相对误差;3有效数字;4.有效数字和相对误差之间的关系:;5.条件数与病态问题;6.数值计算中需要注意的问题;7.二分法;因此有;算法步骤;例用二分法计算方程在[0,0.5]内具有5位有效数字的根，它的绝对误差限是多少？至少需要对分多少次才能达到精度？;例用二分法计算方程在[1,2]内具有4位有效数字的根，它的绝对误差限是多少？至少需要对分多少次才能达到精度？;二分法的优缺点;第二章

解非线性方程的数值方法;将给定方程f(x)=0转化成等价方程;简单迭代法(2.2),若迭代序列{xk}保持有界,全在定义域内;且有;，建立迭代格式;由计算结果有|x10－x9|10-8,因此可取

x*?x10?1。;k;x;2收敛定理和误差估计;证明:;(2)由条件(2)和Lagrange中值定理得;令即分别得;定理1的几点说明;3一般迭???法的算法;求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求?=10-3。;所以,取近似根x*?x10=0.56691满足精度要求。;4局部收敛定理;证明由连续函数的性质,存在x*的某个邻域;例只用四那么运算不用开方求方程x2-3=0的根;k;例设;5迭代收敛的阶;例:(1)二分法线性收敛;;那么;证明：;6迭代加速;由此得加速迭代公式;令得到;由此得Steffensen加速法;分别用简单迭代法和Steffensen加速算法;

k;Newton迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛,而且Newton迭代法还可用来求方程的重根、复根及非线性方程组。;1Newton法根本思想;x;2Newton法的算法;Newton法可以看作下面的不动点迭代：;定理4设f(x)在其零点x*的某个邻域内二阶连续可导且f(x)?0，那么存在x*的某个?邻域N(x*)=[x*-?,x*+?],使得对?x0?N(x*)，Newton法产生的序列以不低于二阶的收敛速度收敛到x*.;取x0=0.5,计算结果如下:;k;例设计一个二阶收敛算法计算(a0).;取x0=1.7，计算得：;设x*是f(x)的m(m?2)重根,Newton法是否收敛？;所以Newton迭代：;提高收敛速度;法二：将求f(x)的重根转化为求另一个函数的单根.;例取初始点x0=1.5,分别用Newton法和求重根的两种方法计算f(x)=(x+1)(x-1)2=0;(2)方法一：取,m=2;;Newton法的收敛依赖于初始点的选取.;6弦截法;定理：设x*是f(x)的零点，f(x)在x*的某邻域U(x,?)内有二阶连续导数，且f’(x)?0，假设初值x0，x1?U(x,?)，那么当U(x,?)充分小时，弦截法具有p阶收敛性，其中;弦截法几何含义