备战2025年高考二轮复习数学专题突破练5　利用导数证明问题(提升篇).docxVIP

专题突破练(分值:68分)

学生用书P143

1.(17分)(2024广东广州一模)已知函数f(x)=cosx+xsinx,x∈(-π,π).

(1)求f(x)的单调区间和极小值;

(2)证明:当x∈[0,π)时,2f(x)≤ex+e-x.

(1)解函数f(x)=cosx+xsinx,x∈(-π,π),求导得f(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

当-πx-π2时,f(x)0,f(x)单调递增;当-π2x0时,f(x)0,f(x)

当0xπ2时,f(x)0,f(x)单调递增;当π2xπ时,f(x)0,f(x)

所以f(x)的单调递增区间为-π,-π2,0,π2,单调递减区间为-π2,0,π2,π,f(x)的极小值为f(0)=1.

(2)证明当x∈[0,π)时,令F(x)=ex+e-x-2(cosx+xsinx),

求导得F(x)=ex-e-x-2xcosx≥ex-e-x-2x,

令φ(x)=ex-e-x-2x,求导得φ(x)=ex+e-x-2≥2ex·e-

函数φ(x)在[0,π)内单调递增,则φ(x)≥φ(0)=0,F(x)≥0,F(x)在[0,π)内单调递增,

因此F(x)≥F(0)=0,所以2f(x)≤ex+e-x.

2.(17分)(2024陕西西安一模)已知函数f(x)=alnx+1x-x+m(a,m∈R)

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1

(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=ax-1x2

设g(x)=-x2+ax-1,注意到g(0)=-1,

①当a≤0时,g(x)0恒成立,即f(x)0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)内单调递减;

②当a0时,判别式Δ=a2-4,

(ⅰ)当0a≤2时,Δ≤0,即g(x)≤0,即f(x)≤0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)内单调递减;

(ⅱ)当a2时,令f(x)0,得a-a2

令f(x)0,得0xa-a2-

所以当a2时,f(x)在区间(a-a2-42,a+a2-42)内单调递增

综上所述,当a≤2时,f(x)在(0,+∞)内单调递减,

当a2时,在区间(0,a-a2-42),(

在区间(a-a2

(2)证明由(1)知a2,0x11x2,x1x2=1,

则f(x1)-f(x2)=alnx1+1x1-x1-alnx2-1x2+x2=(x2-x1)(1+1x1x2)+a(lnx1-lnx2)=2(x2-x1)+a(lnx1-lnx2),则f(x1

即证明lnx1-lnx2x1-x2,则lnx1-ln1x1x1-

即lnx1+lnx1x1-1x1,即证2lnx1x1-1x1

设h(x)=2lnx-x+1x,0x1,其中h(1)=

求导得h(x)=2x-1-1x2=-x2

则h(x)在(0,1)上单调递减,

所以h(x)h(1),即2lnx-x+1x

故2lnxx-1x,则f(x1

3.(17分)(2024河南郑州一模)已知函数f(x)=-cosx,g(x)=x22-1,x∈[0,+∞

(1)判断g(x)≥f(x)是否对?x∈[0,+∞)恒成立,并给出理由;

(2)证明:①当0mnπ2时,sinm-sin

②当ai=12i(i∈N*),ki=f(ai+1)-f(ai)a

(1)解g(x)≥f(x)在[0,+∞)内恒成立,理由如下:

令h(x)=g(x)-f(x)=x22-1+cosx,x∈[0,

则h(x)=x-sinx,x∈[0,+∞),令q(x)=h(x),

则q(x)=1-cosx≥0在[0,+∞)内恒成立,故q(x)=h(x)在[0,+∞)内单调递增,

其中h(0)=0,故h(x)≥0在[0,+∞)内恒成立,故h(x)在[0,+∞)内单调递增,

故h(x)≥h(0)=0,

即g(x)≥f(x)恒成立.

(2)证明①0mnπ2时,因为y=sinx单调递增,所以sinmsinn

又m-n0,cosn0,故要证sinm-sinnm

只需证(m-n)cosn+sinn-sinm0.

令r(x)=(x-n)cosn-sinx+sinn,0xn,则只需证明r(m)0,

r(x)=cosn-cosx,令p(x)=cosn-cosx,则函数p(x)在0,π2内单调递增,

所以当0xn时,p(x)p(n)=0,

所以r(x)0,所以r(x)在(0,n)内单调递减,

所以r(x)r(n)=0,故r(m)r(n)=0,

所以当0mnπ2时,sinm-sin

②由(1)知,cosx1-x22,x0,f(x)=sinx,由于0

所以ki=f(ai+1)-f(a

所以∑i=1n-1ki(1-123)+(1-125)+…+(