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⾼等数学第⼆章课后习题答案

第⼆章导数与微分

1.()().1,102-=fxxf试按定义求设

2002

00(1)(1)10(1)10

(1)limlim

1020limlim(1020)20xxxxfxfxfxx

xxxx

→?→?→?→-+?--?==-?==?-=-?

2.下列各题中均假定()0xf存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表⽰什么,并将答案填在括号内。

⑴()()=?-?-→?x

xfxxfx000lim

（0()fx-）；⑵()=→?x

xfx0lim（(0)f），其中()()存在；且0,00ff=⑶()()

=--+→h

hxfhxfh000lim

（02()fx）.

3.求下列函数的导数：

⑴==yxy,4

则34x⑵==yxy,32

则1

323

x-

⑶==yx

y,1

则3212x--⑷=

=yxxy,5

3则11

5165x4．求曲线.21,3cos程处的切线⽅程和法线⽅上点??

=πxy

sin,()3yxyπ=-=

所以切线⽅程为1)23yxπ-

=-

2(1)0y+-=

法线⽅程为1)23yxπ-

=-

化简得3)0xπ+-+=5.讨论函数=≠=0

00

1sin2

xxx

xy在0=x处的连续性和可导性.20(0)0

1

limsin0(0)()xfxfx

→===因为有界量乘以⽆穷⼩所以函数在0x=处连续

因为20001

sin

(0)(0)

1limlim

limsin0xxxxfxfxxx

xx

→?→?→?+?-==?=

所以函数在0x=处可导.

6.已知()()()()是否存在？

⼜及求0,00,

02fffxxxxxf-≥=-+2

00(0)(0)(0)limlim0hhfhfhfhh

+

→+→++-===

0

0(0)(0)(0)lim

lim1hhfhfh

fhh

-→-→++--===-(0)(0)ff+-≠Q(0)f∴不存在

7.()().,0

sinxfxxxxxf??

≥=求已知当0x时,()(sin)cosfxxx==;当0x时,()()1fxx==;

当0x=时

0

0(0)(0)(0)lim

lim1hhfhfh

fh

h+→→+-===＋＋0

0(0)(0)sin(0)lim

lim1hhfhfhfhh

-→-→+-===－(0)1f∴=

综上，cos,0

()1,0xxfxx

8.求下列函数的导数：

（1）;5432

3

-+-=xxxy（2）;122744

5+-+=

xx

xy222

222

223224222

2csccot(1)2csc2(1)2(1)csccot4csc(1)23

(3)(3ln)(2ln)(2)

(3ln)(94)ln32(3ln)xxxxx

yxxxxxxxxxxxxxx

xyxxxxxxxxxx-+-=

+-+-=

+++-++=+-+-+=

+gg2364

yxx=-+xxx=--+

（3）;3253

x

x

exy+-=（4）;1sectan2-+=xxy

2152ln23xxyxe=-+22secsectanyxxx=+

（5）;log3lg2ln2xxxy+-=（6）()();7432xxy-+=

123

ln10ln2

yxxx=

-+

422yx=--

（7）;lnxx

y=

（8）;cosln2xxxy=2

1

lnxx

xyx

-=2212lncoscos