高等代数(北大版第三版)习题答案II.pdfVIP

高等代数（北大第三版）答案

目录

第一章多项式

第二章行列式

第三章线性方程组

第四章矩阵

第五章二次型

第六章线性空间

第七章线性变换

第八章—矩阵

第九章欧氏空间

第十章双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第二部分，其他请有哪些信誉好的足球投注网站，谢谢！

12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，

使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。故必存

在非退化线性替换使

，

且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在中，令

则可得一线性方程组

，

由于，故可得唯一组非零解使

，Xs

即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且

，，

因此

，

于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数

与秩相等。证必要性。采用反证法。若正惯性指数秩r，则。即

，22222若令

，y，

则可得非零解使。这与所给条件

矛盾，故。

充分性。由，知

，222

故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证

（

）

可见：。2

1）当不全相等时

2）当时

f。。2

故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设

，。X1

。证明：必存在实n维向量使X0

设A的秩为r，作