人教B版高中数学选修2-2第一章1.3.1利用导数判断函数的单调性-教案.pdfVIP

1.3导数的应用

1.3.1利用导数判断函数的单调性

【提出问题】

在必修一中我们知道，对于函数f(x)在区间(a,b)上有定义，在区间(a,b)上任取xX设/X=X-

y=i,2,2

X

1,

如果2x=X-x0时，都有』y=f(X)-f(x)0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数;

2i2i

如果2x=X-x0时，都有力y=f(x)-f(x)0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数。

2i2i

我们不妨先看增函数的情况。

yf(X)f(x)

2i

头际上，/x=X2-xi0时，都有』y=f(X2)-f(xi)0,等价于—=0

XXX

21

,,……一_...

从函数图象上看，一表示A(X,y),B(x,y)两点割线的斜率。

==4^—ii22

XXX

21

因此，如果函数在区间(a,b)上的图象上任意两点A(X,y),B(X,y)割线的斜率都大于

ii22

0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数。

当点B沿着曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置是直线AD,这条直线AD叫

做此曲线在点A的切线。

所以，我们猜想如果函数在区间(a,b)上每一点的切线斜率都大于0,则函数y=f(x)在区

间(a,b)上为增函数。

我们知道，在区间(a,b)上每一点的导数的几何意义就是在区间(a,b)上每一点的切线斜率。

所以，我们进一步猜想：如果函数在区间(a,b)上每一点的导数都大于0,则函数y=f(x)在区间

(a,b)上为增函数；如果函数在区间(a,b)上每一点的导数都小于0,则函数y=f(x)