2024年高一立体几何知识点总结学生版.doc

第二章知识點總結

一、平面

一般用一种平行四边形来表达.

平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表达，也可用表达平行四边形的两個相對顶點字母表达，如平面AC.

在立体几何中，大写字母A，B，C，…表达點，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表达直线，且把直线和平面當作點的集合，因而能借用集合论中的符号表达它們之间的关系，例如：

A∈l—點A在直线l上；Aα—點A不在平面α内；

lα—直线l在平面α内；

aα—直线a不在平面α内；

l∩m=A—直线l与直线m相交于A點；

α∩l=A—平面α与直线l交于A點；

α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.

二、平面的基本性质

公理1假如一条直线上的两點在一种平面内，那么這条直线上所有的點都在這個平面内.

公理2假如两個平面有一种公共點，那么它們有且只有一条通過這個點的公共直线.

公理3通過不在同一直线上的三個點，有且只有一种平面.

根据上面的公理，可得如下推论.

推论1通過一条直线和這条直线外一點，有且只有一种平面.

推论2通過两条相交直线，有且只有一种平面.

推论3通過两条平行直线，有且只有一种平面.

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行

直接证法三、证題措施

直接证法

反证法证題措施

反证法

证題措施

间接证法

间接证法

同一法

同一法

四、空间线面的位置关系

共面平行—没有公共點

(1)直线与直线相交—有且只有一种公共點

异面(既不平行，又不相交)

直线在平面内—有無数個公共點

(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共點

(直线在平面外)相交—有且只有一公共點

(3)平面与平面相交—有一条公共直线(無数個公共點)

平行—没有公共點

五、异面直线的鉴定

证明两条直线是异面直线一般采用反证法.

有時也可用定理“平面内一點与平面外一點的连线，与平面内不通過该點的直线是异面直线”.

六、线面平行与垂直的鉴定

(1)两直线平行的鉴定

①定义：在同一种平面内，且没有公共點的两条直线平行.

②假如一条直线和一种平面平行，通過這条直线的平面和這個平面相交，那么這条直线和交线平行，即若a∥α,aβ

④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）

⑤两平行平面与同一种平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）

⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的鉴定定理）

③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）

(2)两直线垂直的鉴定

①定义：若两直线成90°角，则這两直线互相垂直.

②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③一条直线垂直于一种平面，则垂直于這個平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.

④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和這個平面的一条斜线的射影垂直，则它也和這条斜线垂直.

⑤假如一条直线与一种平面平行，那么這条直线与這個平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.

(3)直线与平面平行的鉴定

①定义：若一条直线和平面没有公共點，则這直线与這個平面平行.

②假如平面外一条直线和這個平面内的一条直线平行，则這条直线与這個平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.（线面平行的鉴定定理）

③两個平面平行，其中一种平面内的直线平行于另一种平面，即若α∥β,lα，则l∥β.

练习、如图：是平行四边形平面外一點，分别是上的點，且=，

求证：平面

(4)直线与平面垂直的鉴定

①定义：若一条直线和一种平面内的任何一条直线垂直，则這条直线和這個平面垂直.

②假如一条直线和一种平面内的两条相交直线都垂直，那么這条直线垂直于這個平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直鉴定定理）

③假如两条平行线中的一条垂直于一种平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④一条直线垂直于两個平行平面中的一种平面，它也垂直于另一种平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.

⑤假如两個平面互相垂直，那么在一种平面内垂直于它們交线的直线垂直于另一种平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)

练习、已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中點，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．

（1）求证：EF⊥平面GMC．

（2）若