2024—2025学年山东省青岛市第三十九中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年山东省青岛市第三十九中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)2.已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)3.在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为

A．

B．1

C．

D．

(★★)4.根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温（单位：℃）记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有（）

A．平均数小于4且中位数小于或等于3

B．平均数小于4且极差小于或等于3

C．平均数小于4且标准差小于或等于4

D．众数等于6且极差小于或等于4

(★★)5.为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（）

A．

B．的最小值为2

C．若，则

D．轴上存在一点，使为定值

二、多选题

(★★)9.已知，，，且四边形是平行四边形，则（）

A．直线的方程为

B．是直线的一个方向向量

C．

D．四边形的面积为3

(★★★)10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（）

A．

B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

(★★★)11.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”.若黄金双曲线：（）的左右两顶点分别为，，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（）

A．

B．

C．直线与双曲线的一条渐近线垂直

D．

三、填空题

(★)12.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何?”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有________人.

(★★★)13.已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________.

(★★★)14.已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为______

四、解答题

(★★)15.已知向量，，.

（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；

（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.

(★★★)16.某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，