2024年高中数学第八章圆锥曲线知识点.doc

高中数學第八章-圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其原则方程．椭圆的简朴几何性质．椭圆的参数方程．

双曲线及其原则方程．双曲线的简朴几何性质．

抛物线及其原则方程．抛物线的简朴几何性质．

考试规定：

(1)掌握椭圆的定义、原则方程和椭圆的简朴几何性质，理解椭圆的参数方程．

(2)掌握双曲线的定义、原则方程和双曲线的简朴几何性质．

(3)掌握抛物线的定义、原则方程和抛物线的简朴几何性质．

(4)理解圆锥曲线的初步应用．

§08.圆锥曲线方程知识要點

一、椭圆方程.

1.椭圆方程的第一定义：

⑴①椭圆的原则方程：

i.中心在原點，焦點在x轴上：.ii.中心在原點，焦點在轴上：.

②一般方程：.③椭圆的原则参数方程：的参数方程為(一象限应是属于).

⑵①顶點：或.②轴：對称轴：x轴，轴；長轴長，短轴長.③焦點：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦點半径：

i.设為椭圆上的一點，為左、右焦點，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

ii.设為椭圆上的一點，為上、下焦點，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：归結起来為“左加右減”.

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹為椭圆.

⑧通径：垂直于x轴且過焦點的弦叫做通經.坐標：和

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是不小于0的参数，的离心率也是我們称此方程為共离心率的椭圆系方程.

⑸若P是椭圆：上的點.為焦點，若，则的面积為(用余弦定理与可得).若是双曲线，则面积為.

二、双曲线方程.

1.双曲线的第一定义：

⑴①双曲线原则方程：.一般方程：.

⑵①i.焦點在x轴上：

顶點：焦點：准线方程渐近线方程：或

ii.焦點在轴上：顶點：.焦點：.准线方程：.渐近线方程：或，参数方程：或.

②轴為對称轴，实轴長為2a,虚轴長為2b，焦距2c.③离心率.④准线距(两准线的距离)；通径.⑤参数关系.⑥焦點半径公式：對于双曲线方程(分别為双曲线的左、右焦點或分别為双曲线的上下焦點)

“長加短減”原则：

构成满足(与椭圆焦半径不一样，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)

⑶等轴双曲线：双曲线称為等轴双曲线，其渐近线方程為，离心率.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴為实轴，实轴為虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互為共轭双曲线，它們具有共同的渐近线：.

⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程為假如双曲线的渐近线為時，它的双曲线方程可设為.

例如：若双曲线一条渐近线為且過，求双曲线的方程？

解：令双曲线的方程為：，代入得.

⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：無切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定點在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定點在渐近线上且非原點，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即過原點，無切线，無与渐近线平行的直线.

小結：過定點作直线与双曲线有且仅有一种交點，可以作出的直线数目也許有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交點，交點為二個時，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线，则常用結论1：P到焦點的距离為m=n，则P到两准线的距离比為m︰n.

简证：=.

常用結论2：從双曲线一种焦點到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3.设，抛物线的原则方程、类型及其几何性质：

图形

焦點

准线

范围

對称轴

轴

轴

顶點

(0，0)

离心率

焦點

注：①顶點.

②则焦點半径;则焦點半径為.

③通径為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.

④(或)的参数方程為(或)(為参数).

四、圆锥曲线的统一定义..

4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定點F和定直线的距离之比為常数的點的轨迹.

當時，轨迹為椭圆；

當時，轨迹為抛物线；

當時，轨迹為双曲线；

當時，轨迹為圆(，當時).

5.圆锥曲线方程具有對称性.例如：椭圆的原则方程對原點的一条直线与双曲线的交點是有关原點對称的.

由于具有對称性，因此欲证AB=CD,即证AD与BC的中點重叠即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的原则方程与几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

定义

1．到两定點F1,F2的距离之和為定值2a(2a|F1F2

1．到两定點F1,F2的距离之差的绝對值為定值2a(02a|F1F2

2．与定點和直线的距离之比為定值e的點的轨迹.(0e1)

2．与定點和直线的距离之比為定值e的點的轨迹.(e1)

与定點和直线